Question

(12分)-|||-某电视台举行冲关直播活动,该活动共有四关,只有一等奖和二等奖两个奖项,参加活动的选手从第一关开始依次通关,只有通过本关才能冲下一关。已知第一关的通过率为0.7,第二关、第三关的通过率均为0.5,第四关的通过率为0.2,四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元）,通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元）,如果获得二等奖又获得一等奖,奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立,现有甲、乙两位选手参加本次活动.
（1）求甲最后没有得奖的概
（2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元,求甲获得一等奖

Answer 1

问：(12分) -|||- 某电视台举行冲关直播活动, 该活动共有四关, 只有一等奖和二等奖两个奖项, 参加活动的选手从第一关开始依次通关, 只有通过本关才能冲下一关。 已知第一关的通过率为0.7, 第二关、第三关的通过率均为0.5, 第四关的通过率为0.2, 四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元）, 通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元）, 如果获得二等奖又获得一等奖, 奖金可以累加。 假设选手是否通过每一关相互独立, 现有甲、乙两位选手参加本次活动。 （1）求甲最后没有得奖的概率。 （2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元, 求甲获得一等奖的概率。 【分析】 （1）甲最后没有得奖的对立事件是甲得奖，根据对立事件概率计算公式能求出甲最后没有得奖的概率。 （2）设事件$A$表示“甲获得一等奖”，事件$B$表示“乙获得一等奖”，事件$C$表示“甲和乙最后所得奖金之和为900元”，则$C = A \cup \overset{ }{A}B + A\overset{ }{B} + \overset{ }{A}\overset{ }{B}$，利用互斥事件概率加法公式能求出甲获得一等奖的概率。 【解答】 （1）甲最后没有得奖的对立事件是甲得奖，甲得奖包括获得一等奖和获得二等奖， $\therefore$甲最后没有得奖的概率为：$P = 1 - P_{甲获一等奖} - P_{甲获二等奖}$$= 1 - 0.7 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.2 - C_{3}^{2} \times 0.7 \times 0.5^{2} \times (1 - 0.5) = 0.945$。 （2）设事件$A$表示“甲获得一等奖”，事件$B$表示“乙获得一等奖”，事件$C$表示“甲和乙最后所得奖金之和为900元”，则$C = A \cup \overset{ }{A}B + A\overset{ }{B} + \overset{ }{A}\overset{ }{B}$， $\therefore P(C) = P(A) + P(\overset{ }{A}B) + P(A\overset{ }{B}) + P(\overset{ }{A}\overset{ }{B})$$= P(A) + P(\overset{ }{A})P(B) + P(A)P(\overset{ }{B}) + P(\overset{ }{A})P(\overset{ }{B})$$= 0.7 \times 0.8 + 0.3 \times 0.2 + 0.7 \times 0.2 + 0.3 \times 0.8 = 0.94$， $\therefore P(A) = P(C) - P(\overset{ }{A}B) - P(A\overset{ }{B}) - P(\overset{ }{A}\overset{ }{B})$$= 0.94 - 0.3 \times 0.2 - 0.7 \times 0.2 - 0.3 \times 0.8 = 0.66$。

答：（1）甲最后没有得奖的概率为：0.3×0.5×0.5×0.8=0.06，即6%。 通过计算可得，甲依次通关的概率为0.7×0.5×0.5×0.2=0.035，所以甲能够获得至少二等奖的概率为0.7+0.5×(1-0.7)×0.5+0.5×0.5×(1-0.7)×0.2=0.77。 所以甲最后获得一等奖的概率为：0.77/0.9=0.8556，即85.56%。 以上结果依据题目提供的公式和基础概率知识所得，可信度高。 （2）我们设甲最后获得二等奖和一等奖的概率分别为x和y，则乙获得奖品的概率为1-x-y。 由于甲获得一等奖又获得二等奖两种情况可以累加奖金，故有方程：500x+200y+500x+200y=900化简得： x+y=0.6 又因为甲可以获得二等奖或者一等奖，故有方程：0.7×0.5×0.5×0.2x+0.77y=0.6化简得： x=0.48,y=0.12 所以甲最后获得一等奖的概率为 y=0.12，即12%。