Question

设是由 y=x ,x=1, z=xy 及 z=x^2y 所围的有界闭区域,计算三重积分7xy^2z^3dv

Answer 1

问：设是由 y=x ,x=1, z=xy 及 z=x^2y 所围的有界闭区域,计算三重积分7xy^2z^3dv

答：亲首先，由 y = x 和 x = 1 可以得到区域的范围为 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x。然后，计算 z = xy 和 z = x^2y 的交点，得到 z = x 和 z = x^2，即 x = z^(1/2) 和 x = z。所以，积分区域的范围为 0 <= z <= 1， z^(1/2) <= x <= 1， 0 <= y <= x。对于积分式 7xy^2z^3，将其写成积分区域上的函数形式，即 7xyz^3y。将积分式代入三重积分公式，得到∭(0<=z<=1)∭(z^(1/2)<=x<=1)∭(0<=y<=x) 7xyz^3y dy dx dz首先对 y 进行积分，得到∭(0<=z<=1)∭(z^(1/2)<=x<=1) 7xz^3/3 x^3 dx dz然后对 x 进行积分，得到∭(0<=z<=1) 7z^3/12 dz最后对 z 进行积分，得到∫(0<=z<=1) 7z^3/12 dz = 7/48所以，三重积分7xy^2z^3在区域 y=x ,x=1, z=xy 和 z=x^2y 所围的有界闭区域中的值为 7/48。