21.(12分)已知函数 f(x)=(a/x-1)lnx+(x+1)/x(aR) .(1)若a=2,求f(x)的单调区间
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首先，我们需要求出函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，并根据导数的正负性来判断函数的单调性。
对于函数 $f(x) = \frac{a}{x - 1} \ln(x) + \frac{x + 1}{x \cdot a}$，
求导后得到：
$f'(x) = \frac{a}{x \cdot (x - 1)} + \frac{1 - x - 1}{x^2 \cdot a} = \frac{a}{x^2 - x} - \frac{1}{x^2 \cdot a}$
化简后得到：
$f'(x) = \frac{a}{(x - 1) \cdot x} - \frac{1}{a \cdot x^2}$
当 $a = 2$ 时，有：
$f'(x) = \frac{2}{x^2 - x} - \frac{1}{2x^2} = \frac{4 - x^2}{2x^2 \cdot (x - 1)}$
分母中的三个因式的取值范围为：
$2x^2 > 0, \quad x - 1 \neq 0, \quad 即 \quad x \neq 1, \quad 4 - x^2 \geq 0, \quad 即 \quad x \leq 2 且 x \geq -2$
根据分母的取值范围可得：
当 $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 2)$ 时，分母与分子同号，$f'(x) > 0$，即 $f(x)$ 严格单调递增；
当 $x \in (-2, 1) \cup (2, +\infty)$ 时，分母与分子异号，$f'(x)$
咨询记录 · 回答于2024-01-11
21.(12分)已知函数 f(x)=(a/x-1)lnx+(x+1)/x(aR) .(1)若a=2,求f(x)的单调区间
首先，我们需要求出函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，并根据导数的正负性来判断函数的单调性。
对于函数 $f(x) = \frac{a}{x - 1} \ln(x) + \frac{x + 1}{x \cdot a)$，对其求导，得到：
$f'(x) = \frac{a}{x \cdot (x - 1)} + \frac{1 - x - 1}{x^2 \cdot a} = \frac{a}{x^2 - x} - \frac{1}{x^2 \cdot a}$化简得：
$f'(x) = \frac{a}{(x - 1) \cdot x} - \frac{1}{a \cdot x^2}$当 $a = 2$ 时，有：
$f'(x) = \frac{2}{x^2 - x} - \frac{1}{2x^2} = \frac{4 - x^2}{2x^2 \cdot (x - 1)}$分母中的三个因式的取值范围为：
$2x^2 > 0, \quad x - 1 \neq 0, \quad 即 \quad x \neq 1, \quad 4 - x^2 \geq 0, \quad 即 \quad x \leq 2 且 x \geq -2$根据分母的取值范围可得：
当 $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 2)$ 时，分母与分子同号，$f'(x) > 0$，即 $f(x)$ 严格单调递增；
当 $x \in (-2, 1) \cup (2, +\infty)$ 时，分母与分子异号，$f'(x)$
f'(x) < 0，即 f(x) 严格单调递减。综上所述，当 a = 2 时，函数 f(x) 的单调区间为 (-∞, -2) ∪ (1, 2) 时严格单调递增，(2, +∞) ∪ (-2, 1) 时严格单调递减。
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