18.求由方程 e^xy+cosy^2-x=1 所确定的隐函数 y=f(x) 的导数 ay/(4x)

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摘要亲~首先，将方程 e^xy+cosy^2-x=1 移项得到 e^xy = 1 - cosy^2 + x。对上式两边同时求偏导数，得到：

咨询记录 · 回答于2023-04-27

18.求由方程 e^xy+cosy^2-x=1 所确定的隐函数 y=f(x) 的导数 ay/(4x)

亲~首先，将方程 e^xy+cosy^2-x=1 移项得到 e^xy = 1 - cosy^2 + x。对上式两边同时求偏导数，得到：

y * e^xy * dx + x * e^xy * dy = -2cosy * dy + dx

化简得到：dy/dx = (2cosy - y*e^xy) / (e^xy - 1)

所以，要得到 y=f(x) 的导数 ay/(4x)，需要对上式进行变形。

首先，可以把（2cosy - ye^xy）写成 2ycos(y/2)sin(y/2) - ye^xy。然后，将分子和分母同时除以 e^xy，可得到：dy/dx = [2y*cos(y/2)*sin(y/2) * e^(-xy) - y] / (1 - e^(-xy))

将题目中给出的导数 ay/(4x) 进行比较，可以得到：a/4 = -1 --> a = -4因此，最终的答案为：dy/dx = [-8y*cos(y/2)*sin(y/2)*e^(-xy) + 4y] / (e^(-xy) - 1)

将方程 ey + cos y - x = 1 移项，得到：y = f(x) = arccos(x - 1/ey)对其求导数，有：f'(x) = [1 / sqrt(1 - (x - 1/ey)^2)] * [-1/e * y * e^(-y * (x - 1/ey)^(-1)) + 1/e^2 * y * (x - 1/ey) * e^(-y * (x - 1/ey)^(-1))]化简可得：f'(x) = [-y * e^(y * (x - 1/ey)^(-1)) + y * (x - 1/ey) * e^(y * (x - 1/ey)^(-1))] / [e * sqrt(1 - (x - 1/ey)^2)]将题中给出的式子 dy/dx 进行比较，可得：dy/dx = f'(x)所以，dy/dx = [-y * e^(y * (x - 1/ey)^(-1)) + y * (x - 1/ey) * e^(y * (x - 1/ey)^(-1))] / [e * sqrt(1 - (x - 1/ey)^2)]因此，方程 ey + cos y - x = 1 所确定的隐函数 y=f(x) 的导数为 [-y * e^(y * (x - 1/ey)^(-1)) + y * (x - 1/ey) * e^(y * (x - 1/ey)^(-1))] / [e * sqrt(1 - (x - 1/ey)^2)]。