Question

(2x-3)⁵×(5x-1)⁶展开式中求x²系数

Answer 1

问：(2x-3)⁵×(5x-1)⁶展开式中求x²系数

答：亲，我们可以使用二项式定理来展开式子，即：(2x-3)⁵×(5x-1)⁶ = C⁵₀(2x)⁵(-3)⁰×C⁶₀(5x)⁶(-1)⁰ + C⁵₁(2x)⁴(-3)¹×C⁶₁(5x)⁵(-1)¹ + ... + C⁵₅(2x)⁰(-3)⁵×C⁶₅(5x)¹(-1)⁵

答：其中，C⁵₀和C⁶₀分别表示从5个2x和6个5x-1中取出0个的组合数，C⁵₁和C⁶₁分别表示从5个2x和6个5x-1中取出1个的组合数，依此类推。在求 x² 的系数时，我们需要找到所有包含两个 x 因式并且其他因式的次数之和为 5+6 = 11 的项，即：C³₂(2x)³(5x-1)²(-3)³

答：其中，C³₂表示从5个(2x)和6个(5x-1)中分别取出3个和2个的组合数，是一个常数。我们可以使用组合数表格计算出 C³₂ 的值为 10。因此， x² 的系数为：C³₂ × (2)³ × (-3)³ = 10 × 8 × (-27) = -2160因此，展开式中 x² 的系数为 -2160

答：不好意思亲，刚才好像算错啦

答：根据二项式定理，展开式可以写为：(2x-3)⁵×(5x-1)⁶ = Σ Cⁿᵢ (2x)ⁿ (-3)ⁱ (5x-1)ⁿ⁻ⁱ其中，Σ表示对所有满足条件的 i 进行求和，Cⁿᵢ表示从 n 个因式中选取 i 个的组合数，即 Cⁿᵢ = n! / [i!(n-i)!]。展开式中，含有 x² 的项为 C⁸₂ (2x)² (-3)⁸ (5x-1)⁴ 和 C⁹₂ (2x)² (-3)⁹ (5x-1)⁴。因此，我们只需要计算这两项的系数和即可得到 x² 的系数。具体地：C⁸₂ = 28, C⁹₂ = 84(2)² = 4(-3)⁸ × (5)^⁴ = 6561×625 = 4100625(-3)⁹ × (5)^⁴ = -19683×625 = -12276875因此，x² 的系数为：C⁸₂ (2)² (-3)⁸ (5)⁴ + C⁹₂ (2)² (-3)⁹ (5)⁴ = 28×4×4100625 + 84×4×(-12276875) = -4590因此，在展开式 (2x-3)⁵×(5x-1)⁶ 中，x² 的系数为 -4590。

答：您看这个是正确答案吧