Question

5.设区域D={(x,y)||x|+|y|小于等于1},则二重积分[sin(xy)+3]d=

Answer 1

问：5.设区域D={(x,y)||x|+|y|小于等于1},则二重积分[sin(xy)+3]d=

答：您好，亲，这道题目中的二重积分是对区域 D 上的函数 sin(xy)+3 进行积分。由于区域 D 是一个由正方形和四个直角三角形组成的区域，因此可以将二重积分转化为两个部分：对正方形部分和对四个直角三角形部分的积分。首先考虑对正方形部分的积分。正方形的边长为 2，中心在坐标系原点，因此可以将其表示为以下两个不等式：- |x| <= 1- |y| <= 1将这两个不等式合并，得到区域 D 的积分区域为：- -1 <= x <= 1- -1 <= y <= 1因此，对于正方形部分的积分可以表示为：∬(x,y)∈D[sin(xy)+3]dxdy = ∫[-1,1]∫[-1,1] (sin(xy)+3)dxdy接下来考虑对四个直角三角形部分的积分。由于每个直角三角形都可以表示为一个直角边在坐标轴上的直角三角形的平移和镜像，因此只需要考虑其中一个直角三角形的积分即可。例如，可以选择右上角的三角形，其顶点为 (0,1)，可以表示为以下两个不等式：- 0 <= x <= 1- 0 <= y <= 1-x将这两个不等式合并，得到该三角形的积分区域为：- 0 <= x <= 1- 0 <= y <= 1-x因此，对于右上角的三角形部分的积分可以表示为：∬(x,y)∈D[sin(xy)+3]dxdy = ∫[-1,1]∫[-1,1] (sin(xy)+3)dxdy + 4∫[0,1]∫[0,1-x] (sin(xy)+3)dxdy将函数 sin(xy)+3 展开后进行积分，得到：∫[-1,1]∫[-1,1] (sin(xy)+3)dxdy + 4∫[0,1]∫[0,1-x] (sin(xy)+3)dxdy= ∫[-1,1]∫[-1,1] sin(xy)dxdy + ∫[-1,1]∫[-1,1] 3dxdy + 4∫[0,1]∫[0,1-x] sin(xy)dxdy + 4∫[0,1]∫[0,1-x] 3dxdy= 2∫[0,1]∫[0,1-x] sin(xy)dxdy + 16根据二重积分的性质，可以先对 y 进行积分，然后再对 x 进行积分。因此，对于 sin(xy) 的积分可以表示为：∫[0,1]∫[0,1-x] sin(xy)dxdy = ∫[0,1] [-cos(yx)/y]dy对上式进行积分，

答：对上式进行积分，得到：∫[0,1] [-cos(yx)/y]dy = [-cos(yx)/x] [0,1] = (1-cos(x))/