Question

如图,在矩形ABC D中, CD=3, AD=3CD, P是AD上一个动点,过点P作 PGAC-|||-垂足

Answer 1

问：如图,在矩形ABC D中, CD=3, AD=3CD, P是AD上一个动点,过点P作 PGAC-|||-垂足

答：如图,在矩形ABC D中, CD=3, AD=3CD, P是AD上一个动点,过点P作 PGAC-|||-垂足回答：由题意可知，AC平行于PG，且PG垂直于AC，因此PG是矩形的高。设矩形的长为a，宽为b，则有AC=a，CD=3，AD=9，PG=b。由于AD=9，且P是AD上的任意动点，因此可以设AP=x，则PD=9-x。由于PG是AC的中线，因此PG=1/2AC=1/2a。根据相似三角形原理可得：∆ADP∽∆PGC因此有：$\dfrac{AD}{GP}=\dfrac{PD}{GC}$代入已知量，得：$\dfrac{9}{b}=\dfrac{9-x}{GC}$化简可得：$GC=\dfrac{bx}{9-x}$由于AC=PG，因此有：$a=b$根据勾股定理可得：$AB^2+BC^2=a^2$$(3+GC)^2+(a-3)^2=a^2$代入GC的表达式，化简可得：$(3+\dfrac{bx}{9-x})^2+(a-3)^2=a^2$移项可得：$(3+\dfrac{bx}{9-x})^2=a^2-(a-3)^2-9$化简可得：$x^2-18x+45=0$解得：$x=3$ 或 $x=15$当$x=3$时，有GC=3，代入上式可得：$(3+3)^2+(a-3)^2=a^2$化简可得：$a=12$此时矩形的长为12，宽为3，PG=3，符合题意。当$x=15$时，有GC=15，代入上式可得：$(3+15)^2+(a-3)^2=a^2$化简可得：$84a-432=0$解得：$a=\dfrac{18}{7}$此时矩形的长为$\dfrac{18}{7}$，宽为$\dfrac{18}{7}$，PG=3，不符合题意。因此，矩形的长为12，宽为3，答案为12。