Question

16.已知函数+f(x)=alnx-x(aR)+在定义域内有两个零点,则实数a的取值范围是

Answer 1

问：16.已知函数+f(x)=alnx-x(aR)+在定义域内有两个零点,则实数a的取值范围是

答：首先，函数$f(x)=\ln x-x$ 的定义域为$x>0$，需要保证函数有两个零点，即存在$a,b$使得$f(a)=f(b)=0$，且$a\neq b$。当$a=b$时，$f(a)=f(b)=0$意味着$\ln a-a=\ln b-b=0$，即$a=b=e$，其中$e$为自然对数的底数。但这违反了$a\neq b$的条件，因此$a\neq b$。然后考虑函数的图像：首先，$f(1)=\ln 1-1=-1<0$，又因为$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$，$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$，因此存在一点$x_1\in(0,1)$和一点$x_2\in(1,+\infty)$，使得$f(x_1)=f(x_2)=0$。由于$a,b$是函数的两个零点，且$a\neq b$，因此必须有$a\in(0,x_1)$，$b\in(x_2,+\infty)$或$a\in(x_2,+\infty)$，$b\in(0,x_1)$。不妨考虑第一种情况：$$\begin{aligned}f'(x)&=\frac{1}{x}-1 \\f''(x)&=-\frac{1}{x^2}<0\end{aligned}$$因此$f(x)$在$(0,+\infty)$上是单峰函数，且在$x=1$处取得极小值$f(1)=-1<0$，因此$a,b$必须在$x=1$两侧，即$a\in(0,1),b\in(1,+\infty)$。则可以列出不等式组：$$\begin{cases}\ln a-a=0 \\\ln b-b=0 \\0