2.求幂级数_(n=1)^(x^(n-1))/(n+1)的和函数
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咨询记录 · 回答于2023-05-03
2.求幂级数_(n=1)^(x^(n-1))/(n+1)的和函数
亲，您好
该无限级数的和的函数表达式为:f(x) = (x-1)/(1-x)求和过程如下:1. 首先对该级数进行推广,得:S = (1)^(x^(0-1))/(0+1) + (1)^(x^(-1))/(1+1) + (1)^(x^(-2))/(2+1) + ... = 1 + 1 + 1/2 + 1/3 + ...2. 这是一个等比级数,首项为1,公比为1/2。根据等比级数求和公式:S = a1/(1-r) (a1为首项,r为公比)代入级数的数据,得:S = 1/(1-1/2) = 23. 但是原级数的首项不是1,而是(1)^(x^0)/(1),且每一项的指数都比推广后级数的对应项大1。所以原级数的和应为:f(x) = (1)^(x^0)/(1) × 2 = (x-1)/(1-x)4. 根据原级数给出的表达式,验证上述结果:当x = 0时,(x-1)/(1-x) = 1,与级数首项(1)^(x^0)/(1)相符;当x = 1时,(x-1)/(1-x) = 1,与级数项(1)^(x^(-1))/(2)相符;满足级数求和的校验条件,所以表达式(x-1)/(1-x)就是该级数的和。综上,无限级数_(n=1)^(x^(n-1))/(n+1)的和的函数表达式为(x-1)/(1-x)。请 let 我 know 如果您有任何疑问或需要更详细的推导步骤。我将很乐意提供详细的解释和证明。
该无限级数的和的函数表达式为:f(x) = (x-1)/(1-x)求和过程如下:1. 首先对该级数进行推广,得:S = (1)^(x^(0-1))/(0+1) + (1)^(x^(-1))/(1+1) + (1)^(x^(-2))/(2+1) + ... = 1 + 1 + 1/2 + 1/3 + ...2. 这是一个等比级数,首项为1,公比为1/2。根据等比级数求和公式:S = a1/(1-r) (a1为首项,r为公比)代入级数的数据,得:S = 1/(1-1/2) = 23. 但是原级数的首项不是1,而是(1)^(x^0)/(1),且每一项的指数都比推广后级数的对应项大1。所以原级数的和应为:f(x) = (1)^(x^0)/(1) × 2 = (x-1)/(1-x)4. 根据原级数给出的表达式,验证上述结果:当x = 0时,(x-1)/(1-x) = 1,与级数首项(1)^(x^0)/(1)相符;当x = 1时,(x-1)/(1-x) = 1,与级数项(1)^(x^(-1))/(2)相符;满足级数求和的校验条件,所以表达式(x-1)/(1-x)就是该级数的和。综上,无限级数_(n=1)^(x^(n-1))/(n+1)的和的函数表达式为(x-1)/(1-x)。请 let 我 know 如果您有任何疑问或需要更详细的推导步骤。我将很乐意提供详细的解释和证明。
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