8.已知函数 f(x)= e^x-x-1 ,x0, -f(-x),x>0, 则使不等式 f(lnx)>-1/e 成立的
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你好
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根据题意，我们可以先将 f(-x) 求出来：
f(-x) = e^(-x) + x - 1
因为 x>0，则 -x<0，所以有：
f(-x) = e^(-x) + (-x) - 1
e^0 + 0 -1 = 0
又因为 x0，所以 f(x0) = 0
接着我们考虑函数 f(x) 在定义域内的单调性：
f'(x) = e^x - 1
当 x>0 时，f'(x)>0，所以 f(x) 在 (0, +∞) 单调递增。
所以对于任意 x>0，都有 f(x) > f(x0) = 0
又因为 e^x-x-1 在 x=0 处取得最小值 -1，所以有：
f(lnx) > f(0) = -1
综上所述，不等式 f(lnx)>-1/e 成立的条件是：x>1/e
咨询记录 · 回答于2023-12-22
8.已知函数 f(x)= e^x-x-1 ,x0, -f(-x),x>0, 则使不等式 f(lnx)>-1/e 成立的
你好，
根据题意，我们可以先将 f(-x) 求出来：
f(-x) = e^(-x) + x - 1
因为 x>0，则 -x e^(-x) + (-x) - 1
e^0 + 0 -1 = 0
又因为 x0，所以 f(x0) = 0
接着我们考虑函数 f(x) 在定义域内的单调性：
f'(x) = e^x - 1
当 x>0 时，f'(x)>0，所以 f(x) 在 (0, +∞) 单调递增。
所以对于任意 x>0，都有 f(x) > f(x0) = 0
又因为 e^x-x-1 在 x=0 处取得最小值 -1，所以有：
f(lnx) > f(0) = -1
综上所述，不等式 f(lnx)>-1/e 成立的条件是：x>1/e
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根据题意，我们可以先将 f(-x) 求出来：
f(-x) = e^(-x) + x - 1
因为 x>0，则 -x e^(-x) + (-x) - 1
e^0 + 0 -1 = 0
又因为 x0，所以 f(x0) = 0
接着我们考虑函数 f(x) 在定义域内的单调性：
f'(x) = e^x - 1
当 x>0 时，f'(x)>0，所以 f(x) 在 (0, +∞) 单调递增。
所以对于任意 x>0，都有 f(x) > f(x0) = 0
又因为 e^x-x-1 在 x=0 处取得最小值 -1，所以有：
f(lnx) > f(0) = -1
综上所述，不等式 f(lnx)>-1/e 成立的条件是：x>1/e
1. 在求 f(-x) 的过程中，我们用到了几何平均数小于等于算术平均数这一关系，即 (e^(-x) + (-x))/2 ≤ 2，也可以通过柯西不等式证明。
2. 在判断 f(x) 的单调性时，我们利用了指数函数和常数函数的单调性。同时，我们也可以根据 f''(x) = e^x>0 来判断 f(x) 在定义域内的二阶导数恒大于0，进而证明 f(x) 是凸函数，即在定义域内单调递增。
3. 在解不等式时，我们需要注意 ln 函数的定义域，即 x>0。同时，要注意到等号成立的情况，因为这会影响到最终的解集。
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