Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在ξ,η∈(0,1

Answer 1

问：设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在ξ,η∈(0,1

答：证明：令g(x)=xf(x)，g'(x)=f(x)+xf'(x)∵f(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导∴g(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导∵g(0)=0，g(1)=f(1)=0∴根据罗尔中值定理知道，存在ξ∈（0,1）使得g'(ξ)=0∴g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0∴f'(ξ)=-f(ξ)/ξ命题得证