Question

1.求函数f(的拉普拉斯变换。f(t)=1+3e^2t-2cos3t

Answer 1

问：1.求函数f(的拉普拉斯变换。f(t)=1+3e^2t-2cos3t

答：1拆成两项 2分母凑完全平方 3利用求导性质 4拆成两项，后一项利用延时性质 自己算一下，我只是给个思路。

答：分享一种解法。L[x(t)]=∫佰(0,∞)e^衜(-st)e^度(-0.4t)cos12tdt=∫(0,∞知)e^[-(s+0.4)t]cos12tdt。设I1=∫(0,∞)e^[-(s+0.4)t]cos12tdt，I2=∫(0,∞)e^[-(s+0.4)t]sin12tdt。∴I=I1+iI2=∫(0,∞)e^[-(s+0.4)t+12it]dt=[-1/(s+0,4-12i)]e^[-(s+0.4)t+1it]丨(t=0,∞)=1/(s+0.4-12i)=(s+0.4+12i)/[(s+0.4)2+122]。∴L[x(t)]=(s+0.4)/[(s+0.4)2+122]。供参考。

问：求函数f(t)=(t-1)^2×e^t的拉普拉斯变换。

答：取逆变换y(t)=1/5(e^2t-e^(-3t))

问：求f(t)=t^2×u(t-2)的拉普拉斯变换。注：u(t)为单位阶跃函数

答：阶跃函数u（t）为：自变量取值大于0时，函数值为1 自变量取值小于0时，函数值为0

答：f=t^2的拉普拉斯变换过程如下：F(s)=∫(0-∞)f(t)e^度(-st)dt=∫(0-∞)(t^2)e^(-st)dt设u=st，t=u/s，dt=(1/s)则：F(s)=∫(0-∞)((u/s)^2)e^(-u)(1/s)=(1/s^3)∫(0-∞)(u^2)e^(-u)∫(0-∞)(u^2)e^(-u)du=2! 所以F(s)=2/s^3

答：拉普拉斯逆变知换的公式：对于所有衟的t>0，f(t)= mathcal ^ left=frac int_ ^ F(s)' e'ds，c' 是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s)' 的个别点的实部值。如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均度存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给衟定的实变量函数 f(t)。只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。

问：根据拉普拉斯变换的定义求余弦函数f(t)=Acoswt (A,w为实数)的拉普拉斯变换。

问：求下列微分方程y''+4y'+4y=(t-2)e^-(t-2)×u(t-2)y(0)=1,y'(0)=-2

问：2.y''-y=4sint+5cos2t,y(0)=-1,y'(0)=-2

问：2.y''-y=4sint+5cos2t,y(0)=-1,y'(0)=-2

答：x=sint dx=costdt 代入1式：y''=d(-4sint)/(costdt)=1/cost*d(-4sint)/dt=1/cost*(-4cost)=-4 验证：x=sint y=1-2sin^2t y=1-2x^2 xE[-1,1]y'=-4x y''=-4 所以两种方法均正确.