Question

已知函数y=(2x+1)³求这个函数过点(0,0)处的切线方程

Answer 1

问：已知函数y=(2x+1)³求这个函数过点(0,0)处的切线方程

答：首先求出函数在点(0,0)处的导数，即可得到切线的斜率：$$\begin{aligned}y &= (2x+1)^3 \y' &= 3(2x+1)^2 \cdot 2 \y'(0) &= 3(2(0)+1)^2 \cdot 2 = 12\end{aligned}$$因此，函数在点(0,0)处的切线斜率为12。又因为切线经过点(0,0)，所以切线方程为：$$y = 12x$$

问：嗯，老师能帮我看一下哪里出错了吗？

答：亲，你的图片我这里不能加载出来

答：求函数 $y=(2x+1)^3$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程。求切线方程需要以下两个步骤：求出在点 $(0,0)$ 处的斜率 $k$。利用点斜式或者斜截式，得到切线方程。首先，求出在点 $(0,0)$ 处的斜率 $k$。$$k = \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(2(0+h)+1)^3-(2\cdot 0+1)^3}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(2h+1)^3-1}{h}$$将 $(2h+1)^3$ 展开，得到：$$k=\lim_{h\to0}\frac{8h^3+12h^2+6h}{h}=12$$因此，在点 $(0,0)$ 处的切线斜率 $k=12$。接下来，利用点斜式或斜截式求解切线方程。点斜式：切线方程为 $y = kx + b$，其中 $k=12$ 已知，$b$ 是截距，还需要求出。切线过点 $(0,0)$，所以有 $y=0$，$x=0$，代入方程 $y=kx+b$，得到：$$0=12\cdot0+b$$解得 $b=0$，因此切线方程为 $y=12x$。斜截式：切线方程为 $y=kx+b$，其中 $k=12$ 已知，$b$ 是截距，还需要求出。切线过点 $(0,0)$，所以有 $y=0$，代入方程 $y=kx+b$，得到：$$0=12\cdot0+b$$解得 $b=0$，因此切线方程为 $y=12x$。因此，函数 $y=(2x+1)^3$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=12x$。

答：这是更加详细的步骤

问：嗯，老师题目是过点（0，0）处的切线方程，您确定是这样吗？

问：我的意思是说，这个（0，0）是切线过的点，他不是函数的切点

答：非常抱歉，您是正确的。我解释得不够清楚。下面是更正后的答案：已知函数 $y=(2x+1)^3$，求该函数在点 $(0,0)$ 处的切线方程。求切线方程需要以下两个步骤：求出在点 $(0,0)$ 处的导数 $f'(0)$。利用点斜式或者斜截式，得到切线方程。首先，求出在点 $(0,0)$ 处的导数 $f'(0)$。$$f'(x) = 6(2x+1)^2$$将 $x=0$ 代入上式，得到：$$f'(0) = 6(2\cdot0+1)^2=6$$因此，在点 $(0,0)$ 处的导数 $f'(0) = 6$。接下来，利用点斜式或斜截式求解切线方程。点斜式：切线方程为 $y = f'(0)x + b$，其中 $f'(0)=6$ 已知，$b$ 是截距，还需要求出。切线过点 $(0,0)$，所以有 $y=0$，$x=0$，代入方程 $y=f'(0)x+b$，得到：$$0=6\cdot0+b$$解得 $b=0$，因此切线方程为 $y=6x$。斜截式：切线方程为 $y=f'(0)x+b$，其中 $f'(0)=6$ 已知，$b$ 是截距，还需要求出。切线过点 $(0,0)$，所以有 $y=0$，代入方程 $y=f'(0)x+b$，得到：$$0=6\cdot0+b$$解得 $b=0$，因此切线方程为 $y=6x$。因此，函数 $y=(2x+1)^3$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=6x$。