Question

(1+3+5+7+…+2023)-(2022+2020+2018+2016+…+2)

Answer 1

问：(1+3+5+7+…+2023)-(2022+2020+2018+2016+…+2)

问：好

答：亲！你好，首先我们可以观察到，第一个括号里的数列是 $1,3,5,7,...,2023$，是一个等差数列，公差为 $2$，而 $2023$ 是这个数列中的最后一个数。因此，这个数列的和为：$$S_1 = \frac{2023+1}{2}\cdot1012=1026126$$第二个括号里的数列是 $2,4,6,8,...,2020,2022$，也是一个等差数列，公差为 $2$，只不过要从 $2$ 开始，而且 $2022$ 是最后一个数。因此，这个数列的和为：$$S_2 = \frac{2022+2}{2}\cdot1009 = 1021111$$所以，原式可以化简为：$$\begin{aligned}&(1+3+5+7+…+2023)-(2022+2020+2018+2016+…+2)\\=&(1+3+5+7+…+2023)-[2+4+6+8+…+2020+2022]\\=&S_1 - S_2 \\=&1026126 - 1021111\\=&4015\end{aligned}$$因此，原式的值为 $4015$。

问：不懂

答：亲！很详细

问：答案是1012

问：4015是错的

答：亲！好的，下面我来更详细地解释一下。题目要求我们计算一个差值（difference），可以表示为：$$(1+3+5+7+…+2023)-(2022+2020+2018+2016+…+2)$$我们可以将其拆开，看成两个序列的和的差：$$\begin{aligned}&(1+3+5+7+…+2023)-(2022+2020+2018+2016+…+2)\\=&1+3+5+7+…+2023-2-4-6-8-…-2020-2022\\\end{aligned}$$其中，括号中的第一个序列是从 $1$ 开始的奇数序列，公差为 $2$，最后一个数字是 $2023$，因此这个序列的和可以用等差数列求和公式计算得到：$$S_1 = \frac{(1 + 2023) \times 1012}{2} = 1026126$$同理，括号中的第二个序列是从 $2$ 开始的偶数序列，公差也为 $2$，最后一个数字是 $2022$，因此这个序列的和为：$$S_2 = \frac{(2 + 2022) \times 1009}{2} = 1021111$$将这两个和代入原式

答：将这两个和代入原式中，我们就有：$$\begin{aligned}&(1+3+5+7+…+2023)-(2022+2020+2018+2016+…+2)\\=&1+3+5+7+…+2023-2-4-6-8-…-2020-2022\\=&S_1 - S_2 \\=&1026126 - 1021111 \\=& 4015\end{aligned}$$因此，原式的值为 $4015$。

答：答案不是1012而是4015