Question

有编号为1，2，3得3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这样的装法共有多少种

Answer 1

问：有编号为1，2，3得3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这样的装法共有多少种

答：**问题分析**： 这道题可以通过枚举法来解决。我们可以以编号为1的盒子为基准，从中选择一个球放入编号为1的盒子，然后考虑编号为2的盒子，我们要从所有的剩余球中选取至少2个放入编号为2的盒子，因为每个盒子的球数不小于盒子编号，所以编号为3的盒子中要放至少3个球，所有剩下的球必须全部放入编号为3的盒子中。 **解决思路**： 1. 假设将x个球放入编号为1的盒子，显然有1≤x≤4。因为每个盒子至少要放编号数的球数，所以编号为2的盒子至少装(x+1)个球，编号为3的盒子至少装(x+2)个球。 2. 因为剩下的球数只能全部放入编号为3的盒子，所以编号为3的盒子中至少要再放余下的 (10-(x+x+1+x+2)) = 5-2x 个球。 3. 满足上述条件时，将编号为1的盒子中放x个球，将编号为2的盒子中放(x+1)个球，编号为3的盒子中放(5-2x)个球，即可得到一种满足条件的方案。 4. 循环执行步骤1到步骤3，直到枚举完所有情况。

答：通过上述枚举过程，可以得到编号为1，2，3的三个盒子中装球的可能情况如下： | 编号为1的盒子 | 编号为2的盒子 | 编号为3的盒子 | | --- | --- | --- | | 1 | 2 | 7 | | 2 | 3 | 5 | | 3 | 4 | 3 | | 4 | 5 | 1 | 共有4种满足条件的方案。

问：用组合知识

答：好的亲，我可以给你提供一个使用组合数学来解决这个问题的方法。 根据题意，我们需要将 10 个相同的小球分配给 3 个盒子，并且每个盒子至少要分配一个小球。 假设我们首先将每个盒子分配一个小球，那么问题就转化为将剩余的 7 个球分配给 3 个盒子的形式。 考虑使用插板法来解决这个问题，假设我们现在有 7 个球和 2 个隔板，可以将这些隔板插在球中间，将这些球分成 3 组，分别分配给 3 个盒子。 注意到，由于每个盒子至少需要分配一个小球，我们需要确保每个隔板之前至少有一个球，这样就保证了每个盒子至少分配一个球的要求。 因此，将 7 个球和 2 个隔板排成一排，可以得到以下形式： ○ / ○ ○ / ○ / ○ / ○ 其中，○ 代表小球，/ 代表隔板。 根据插板法，这个问题可以转化为从 9 个位置中选出 2 个位置插入隔板的问题，因此共有 C_9^2 = 36 种分配方案。这也是将 10 个小球分配给 3 个盒子的所有合法分配方案的数量。 因此，答案为 36 种。

问：你能不能写纸上，你说怎么复杂怎么看的懂啊

答：亲您好，这道题的关键是要注意每个盒子需要至少装指定数量的球，而剩下的球可以任意分配到三个盒子中。我们可以先将第一个盒子装一个球，第二个盒子装两个球，第三个盒子装三个球，此时还剩下 4 个球。然后将剩下的 4 个球任意分配到三个盒子中，即可得到一种装法。由于剩下的 4 个球可以任意地分配到三个盒子中，所以共有 C_4^3 = 4种不同的装法。