Question

f(x)=x/e^x+ax²+2ax的单调区间

Answer 1

问：f(x)=x/e^x+ax²+2ax的单调区间

答：首先，求出f(x)关于x的一阶导数和二阶导数：f'(x) = e^(-x) - 2ax/e^x - 2axf''(x) = -e^(-x) - 2ax/e^x + 4ax/e^x化简得：f'(x) = e^(-x) - 2ax/e^x - 2axf''(x) = 2ax/e^x - e^(-x)令f'(x)=0，得e^(-x) - 2ax/e^x - 2ax=0化简得e^(-2x) - 2a(x+1)=0令y=x+1,则：e^(-2y+2) - 2ay=0e^(2y-2) = 2ayy=1/2 + ln2ax=1/2+ln2a-1将x=1/2+ln2a-1代入f''(x)可以得到二阶导数处于x=1/2+ln2a-1时的取值：f''(1/2+ln2a-1) = 2a(e^(1-ln2a)-e^(-1-ln2a))= -2a/4a^2当a>0时，f''(1/2+ln2a-1)<0，说明f(x)在(负无穷，1/2+ln2a-1)单调递减，在(1/2+ln2a-1，正无穷)单调递增。当a2+ln2a-1)>0，说明f(x)在(负无穷，1/2+ln2a-1)单调递增，在(1/2+ln2a-1，正无穷)单调递减。因此，根据a的符号，f(x)的单调区间为：当a>0时，(负无穷，1/2+ln2a-1)单调递减，(1/2+ln2a-1，正无穷)单调递增；当a<0时，(负无穷，1/2+ln2a-1)单调递增，(1/2+ln2a-1，正无穷)单调递减。

问：f(x)=x/e^x+ax²-2ax的单调区间

答：首先，求出f(x)关于x的一阶导数和二阶导数：f'(x) = e^(-x) - 2ax/e^x + 2axf''(x) = -e^(-x) - 2ax/e^x - 4ax/e^x化简得：f'(x) = e^(-x) + 2ax/e^xf''(x) = -2ax/e^x - e^(-x)令f'(x)=0，得e^(-x) + 2ax/e^x = 0化简得e^(2x) = -2ax当a>0时，方程无实数解，因此f(x)的单调性与当a<0时相同。当a<0时，方程有一个实数解，设为x0，即：e^(2x0) = 2ax0x0 = 1/2ln(2a)将x0代入f''(x)，得：f''(x0) = -2a/e^(1/2ln(2a)) - e^(-1/2ln(2a)) = -2a/√(2a) - 1/√(2a)显然，f''(x0)0时，f(x)的单调区间为(-∞, +∞)；当a<0时，单调区间为(-∞,x0)单调递增，(x0, +∞)单调递减，其中x0=1/2ln(2a)

问：能解释一下一阶二阶导数怎么出来的吗

答：当我们需要求一个函数的单调性时，需要先求出它的导数及其导数的零点，通过导数零点的位置和导数的正负确定函数的单调性。求出$f(x)=x/e^x+ax^2-2ax$关于 $x$ 的一阶导数 $f'(x)$ :$$f'(x)=\dfrac{d}{dx}(x/e^x+ax^2-2ax)=\dfrac{d}{dx}(x/e^x)+\dfrac{d}{dx}(ax^2)-\dfrac{d}{dx}(2ax)$$$$= \frac{1}{e^x}-2ax/e^x+2ax$$化简为：$$f'(x)=e^{-x}+2ax(1-e^{-x})$$接下来，我们需要求出导数 $f'(x)$ 的零点来确定函数 $f(x)$ 的单调性。 令 $f'(x)=0$，则有：$$e^{-x}+2ax(1-e^{-x})=0$$$$e^{-x}(1-2ax)+2ax=0$$当 $e^{-x}\neq0$ 时，上式两边同时除以 $e^{-x}$ 后得到 $1-2ax=0$ 或 $x=-\ln\frac{1}{2a}$，这是 $f'(x)$ 的唯一零点。接下来，我们求出函数 $f(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$:$$f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}(e^{-x}+2ax(1-e^{-x}))=-e^{-x}+2axe^{-x}$$我们发现 $f''(x)$ 的符号与 $a$ 的正负有关。当 $a>0$ 时，$f''(x)$ 始终大于 $0$，所以 $f(x)$ 在整个实数域上都是单调递增的。当 $a<0$ 时，$f''(x)$ 零点为 $x_0=\frac{1}{2}\ln(2|a|)$，且 $f''(x)$ 在 $(-\infty,x_0)$ 和 $(x_0,\infty)$ 的两个区间内分别取负值和正值，因此在 $(-\infty,x_0)$ 和 $(x_0,\infty)$ 的两个区间内，$f(x)$ 分别是单调递增和单调递减的。因此，当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调区间为 $(-\infty,x_0)$ 和 $(x_0,\infty)$，其中 $x_0$ 为 $f''(x)$ 的唯一零点。