Question

在平面直角坐标系xOy 中，对于 P，Q两点给出如下定义:若点P到x，y轴的距离中最大值等于点Q到x，y轴距离中的最大值，则称P,Q两点为等距点
①A（-4，1） 若点B坐标为（m，2m+6），且AB两点为等距点，求B坐标
②若T1(1，一k-8)，T2(-7，4k+2)两点为“等距点”，求k的值。

Answer 1

问：在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点，有如下定义： 若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴距离中的最大值，则称P，Q两点为等距点。 ①A（-4，1） 若点B的坐标为（m，2m+6），且AB两点为等距点，求B的坐标。 ②若T1（1，-k-8），T2（-7，4k+2）两点为“等距点”，求k的值。

答：① 根据等距点的定义，我们需要找到使得点A和点B到x，y轴距离中的最大值相等的点B的坐标。 对于点A（-4，1），其到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，最大值为4。 对于点B（m，2m+6），其到x轴的距离为|2m+6|，到y轴的距离为|m|。 要使A和B为等距点，那么点B到x，y轴距离中的最大值应该等于4。 我们分两种情况讨论： 情况1：|2m+6| >= |m| 由于A和B的最大距离相等，我们有 |2m+6| = 4。解得m=-1，此时B的坐标为(-1, 4)。 情况2：|2m+6| <= |m| 同样地，我们有 |m| = 4。解得m=-4或m=4。 当m=-4时，|2m+6| = 2，不满足等距点的定义； 当m=4时，|2m+6| = 14，也不满足等距点的定义。 所以，只有情况1符合等距点的定义，所以B的坐标为(-1, 4)。

答：根据等距点的定义，我们知道点P到x轴和y轴的距离中的最大值等于点Q到x轴和y轴的距离中的最大值。现在我们有两个点T1(1，-k-8)和T2(-7，4k+2)。 首先，我们需要计算这两个点到x轴和y轴的距离： * 点T1到x轴的距离：|-k-8| * 点T1到y轴的距离：|1| * 点T2到x轴的距离：|4k+2| * 点T2到y轴的距离：|-7| 根据等距点的定义，我们可以得出以下两种情况： 情况1：|-k-8| = |4k+2||1| = |-7| 情况2：|-k-8| = |-7||1| = |4k+2| 对于情况1，我们可以看到|1| ≠ |-7|，所以这种情况不成立。 对于情况2，我们需要求解以下两个方程： -k-8 = -7 1 = 4k+2 解方程1得到：-k = 1 k = -1 解方程2得到：4k = -1 k = -1/4 由于情况2中方程组的解满足等距点的定义，所以我们可以得出k的值为：k = -1 和 k = -1/4。