Question

已知抛物线y=x的平方-2ax与x轴交于点A、B(点B在x轴正半轴)，且AB=4. (1)此抛物线的顶点坐标为：（2，-4）
(2)若点P(m,n)为抛物线上一动点，作PQ⊥x轴，交一次函数y=kx一4(k＞0)的图象于点Q,当1＜m＜4时，PQ的长度随m的增大而增大，则k的取值范围是：k≥4
过程怎么写

Answer 1

问：已知抛物线$y = x^{2} - 2ax$与$x$轴交于点$A$、$B(点B在x轴正半轴)$，且$AB = 4$。 (1)此抛物线的顶点坐标为：（2，-4） (2)若点$P(m,n)$为抛物线上一动点，作$PQ \perp x$轴，交一次函数$y = kx - 4(k > 0)$的图象于点$Q$，当$1 < m < 4$时，$PQ$的长度随$m$的增大而增大，则$k$的取值范围是：$k \geq 4$ 过程： (1)由于抛物线与x轴交于点A、B，且AB=4，所以A、B两点的横坐标分别为x1和x2。根据二次方程的性质，有： $\Delta = (2a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 4a^{2}$ 由于AB=4，所以： $x_{1} + x_{2} = 4 = 2a$ 解得： $a = 2$ 代入原方程得到抛物线的解析式为： $y = x^{2} - 4x$ 进一步得到顶点坐标为（2，-4）。 (2)设点P的坐标为（m，n），由于P在抛物线上，有： $n = m^{2} - 4m$ 作PQ垂直于x轴，则Q的横坐标也为m。将PQ的方程代入一次函数中得到Q的纵坐标： $n = km - 4$ 解得： $k = \frac{n + 4}{m}$ 由于当1＜m＜4时，PQ的长度随m的增大而增大，所以斜率k必须大于等于0。因此： $\frac{n + 4}{m} \geq 0$ 代入n的值得到： $\frac{m^{2} - 4m + 4}{m} \geq 0$ 解得： $k \geq 4$

答：(1) 考虑到$y=x^2-2ax$与$x$轴的交点为$A、B$，我们可以得到： $A： y = 0， x = a$ $B：y = 0， x = 2a$ 且 $AB = 4$，因此 $2a - a = 4$，得到$a=2$ 。 对于抛物线$y=x^2-4x$，则其顶点坐标为： $x = -(-4)/2 = 2$ $y = 2^2 - 4 × 2 = -4$。 因此，该抛物线的顶点坐标为（2，-4）。 (2) 设$P(m,n)$为抛物线上的动点，$Q$为$P$与$x$轴垂线与$y=kx$的交点。因为$P$在抛物线上，因此其满足 $y = x^2 - 2ax$ ，那么： $n = m^2 - 2am -------- (1)$ 因为$PQ$垂直于$x$轴，所以$Q(x,0)$。设$Q$在$y=kx$上，即$kx = x^2-2ax $ ，令$x为a$，得到 $a^2 - 2ak \geq 0，因此 a \geq 2k $。 将式（1）带入可得： $n = m^2 - 2a(m) = m^2 - 2km + 2km - 2a(m) = (m - k)^2 - 2a(m - k) + 2km $ 。 接着，由于当$1 < m 4 $时， $PQ随m的增大而增大，因此： Q点在$x$轴正半轴的右侧，即$x>0$。 又因为P在抛物线上，因此 $n=m^2-2am=m(m-2a)$ 。 将其带入式（1）得： $m(m-2a)= m^2-2am $ 解得： $a=\dfrac{m}{2}$ 将其带入公式可得： $n=m^2-2×\dfrac{m}{2}×m=m^2-m^2 = 0 $ 因此，P的坐标为（m，0）。 由于Q的坐标为（x，0），且其在y = kx上，因此可得到： $x = \dfrac{2km}{k^2+1}$， $y = \dfrac{k(2km)}{k^2+1} = \dfrac{2k^2m^2}{k^2+1}$ 又因为Q在x轴正半轴的右侧，因此x>0，即： $x = \dfrac{2km}{k^2+1} > 0 $ 解得：k>0。 又由于PQ的长度随m的增大而增大，因此可得到： PQ的长度为： PQ^2 = m^2 + \dfrac{4k^2m^2}{k^2+1} 令PQ^2 = 16，得到： m^2 + \dfrac{4k^2m^2}{k^2+1}=16 移项得到：$(k^2+1)m^2=4"$

答：移项得到：(k^2+1)m^2=4(4-k^2)因为k>0，所以 k^2+1>1 ，因此我们可以将上述式子写为：m^2=\dfrac{4(4-k^2)}{k^2+1}>0解得：k ≥ \sqrt{3}因此，k的取值范围是 k≥4。