Question

求曲线y²-2x 与直线x=1 所围成的区域绕x轴旋转生成的旋转体体积。

Answer 1

问：求曲线y²-2x 与直线x=1 所围成的区域绕x轴旋转生成的旋转体体积。

答：亲亲！您好！以下是要求曲线y^2-2x与直线x=1所围成的区域绕x轴旋转生成的旋转体体积，使用定积分来计算的步骤： 1. 首先，确定旋转体的上下限。由于直线x=1是垂直于x轴的，所以旋转体的上下限可以通过曲线y^2-2x与直线x=1的交点来确定。将y^2-2x=1代入x=1得到：1-2x=0，x=0。因此，曲线y^2-2x与直线x=1的交点为(0, ±1)。 2. 接下来，确定旋转体的半径。由于旋转轴是x轴，因此半径为曲线到x轴的距离，即y的绝对值。 3. 旋转体的体积可以通过使用圆盘法来计算，每个圆盘的体积为πr^2dx，其中r为半径，dx为圆盘的宽度。 4. 设置积分的范围并计算体积。体积V可以表示为：V = ∫[a, b] πr^2dx，其中，a和b是曲线与直线的交点，即a=-1，b=1。半径r是曲线到x轴的距离，即|r| = |y|，因此r^2 = y^2。 5. 将上限和下限代入半径的平方和体积公式，我们得到：V = ∫[-1, 1] π(y^2)dx。 6. 对上述积分进行计算：V = π∫[-1, 1] (y^2)dx。在这里，我们需要将dx表示为dy，因此我们需要将积分项中的dx替换为dy。根据曲线方程y^2-2x=1，解出x，得到x=(y^2-1)/2。 7. 将x=(y^2-1)/2代入积分，我们得到：V = π∫[-1, 1] (y^2)((y^2-1)/2)dy。 8. 计算积分：V = π∫[-1, 1] [(y^4)/2 - (y^2)/2]dy。对每个积分项进行计算，我们得到：V = π[(y^5)/10 - (y^3)/6] 在[-1, 1]上积分。 9. 将上限和下限代入积分，我们得到：V = π[((1^5)/10 - (1^3)/6) - ((-1^5)/10 - (-1^3)/6)]V = π[(1/10 - 1/6) - (-1/10 + 1/6)]V = π[(3/30 - 5/30) - (-1/30 + 5/30)]V = π[-2/30 + 4/30]V = π[2/30]V = π/15 现在我们已经完成了计算，得到了所求旋转体的体积为π/15。 希望这个详细的解答过程对您有所帮助！如果您还有其他问题或需要帮助，请随时告诉我。

答：因此，曲线y²-2x与直线x=1所围成的区域绕x轴旋转生成的旋转体体积为π/15。

问：好长

问：可以简化吗

答：当然可以简化。让我们重新进行计算，以简化解答。 曲线为 $y^2 - 2x = 1$，直线为 $x = 1$。这两条曲线相交于点 $(1, \pm 1)$。 要计算旋转体的体积，我们可以使用圆盘法。考虑半径 $r$，它是曲线到 $x$ 轴的距离，即 $|y|$。旋转体的体积可以表示为： $V = \pi \int_{-1}^{1} (|y|)^2 dx$ 由于旋转轴是 $x$ 轴，我们需要使用 $dx$ 表示。半径 $r = |y|$，所以 $r^2 = y^2$。代入体积公式，我们得到： $V = \pi \int_{-1}^{1} (y^2) dx$ 计算积分： $V = \pi[x \cdot y^2]_{-1}^{1}$ 将上限和下限代入积分，我们得到： $V = \pi[(1 \cdot 1^2) - (1 \cdot (-1)^2)] - [(1 \cdot (-1)^2) - (1 \cdot (-1)^2)]$ $V = \pi[(1 - 1) - (1 - 1)]$ $V = \pi[0]$ $V = 0$ 因此，曲线 $y^2 - 2x$ 与直线 $x=1$ 所围成的区域绕 $x$ 轴旋转生成的旋转体体积为 0。

答：亲，以这份为准

问：还可以继续提问吗

答：请说

答：抱歉，这题不会