Question

3.已知 z=f(xy,x+2y)+sinx, 具有二阶连续偏导数,求

Answer 1

问：3.已知 z=f(xy,x+2y)+sinx, 具有二阶连续偏导数,求

答：亲亲，很高兴为您解答。要求函数 z = f(xy, x+2y) + sinx 的二阶连续偏导数，我们需要分别对变量 xy 和 x+2y 进行求导。首先，对于变量 xy，我们可以使用链式法则进行求导。令 u = xy，则有：∂u/∂x = y，因为对于 u = xy，我们固定 y，对 x 求导，得到 y；∂u/∂y = x，同理可得。接下来，对于变量 x+2y，令 v = x+2y，则有：∂v/∂x = 1，因为对于 v = x+2y，我们固定 y，对 x 求导，得到 1；∂v/∂y = 2，同理可得。然后，我们对函数 z 进行求导。根据链式法则，我们有：∂z/∂x = (∂z/∂u) * (∂u/∂x) + (∂z/∂v) * (∂v/∂x) + (∂z/∂x) * cosx∂z/∂y = (∂z/∂u) * (∂u/∂y) + (∂z/∂v) * (∂v/∂y)其中，∂z/∂u 和 ∂z/∂v 是对 f(xy, x+2y) 的偏导数，∂z/∂x 是对 sinx 的偏导数。最后，我们对 ∂z/∂u 和 ∂z/∂v 进行二阶求导，得到二阶偏导数 ∂²z/∂u²、∂²z/∂u∂v 和 ∂²z/∂v²。总结起来，求解函数 z = f(xy, x+2y) + sinx 的二阶连续偏导数的步骤如下：1.计算 ∂u/∂x 和 ∂u/∂y；2.计算 ∂v/∂x 和 ∂v/∂y；3.计算 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y，其中 ∂z/∂u 和 ∂z/∂v 可以通过 f(xy, x+2y) 的偏导数计算；4.对 ∂z/∂u 和 ∂z/∂v 进行二阶求导，得到 ∂²z/∂u²、∂²z/∂u∂v 和 ∂²z/∂v²。