Question

已知x>0,y>0,且x+y+xy-3则

Answer 1

问：已知x>0,y>0,且x+y+xy-3则

答：根据已知条件 x > 0，y > 0，以及等式 x/(y+1) + xy = 3，我们可以解答关于 xy 的取值范围以及 x+y、x+4y 和 x+2y 的最小值的问题。 首先，考虑选项 A，xy 的取值范围是 [1,97]。我们可以将已知等式进行变形得到 xy = 3 - x/(y+1)，由于 x > 0，y > 0，可以确定右侧的表达式是大于零的，因此 xy 不能小于零。然而，对于 x > 0，y > 0 的范围，我们无法确定 xy 的具体取值范围，因此选项 A 不能成立。 然后，考虑选项 B，x+y 的取值范围是 [2,3)。我们可以将已知等式 x/(y+1) + xy = 3 进一步变形为 x + xy + y = 3(y+1)，合并同类项得到 x(1+y) + y = 3y + 3，再次合并同类项得到 x(1+y) - 2y = 3。由于已知 x > 0，y > 0，我们可以验证当 x = 2，y = 0 时等式成立，因此 x+y 的取值范围包含在 [2,3) 中，选项 B 成立。 接下来，考虑选项 C，x+4y 的最小值是 3。我们可以将已知等式进一步变形得到 x + xy + 4y = 3(y+1)，合并同类项得到 x(1+y) + 4y = 3y + 3，再次合并同类项得到 x(1+y) - 3y = 3。我们可以看到左侧的表达式是关于 y 的增函数，右侧的常数是一个固定值，因此它们的和 x+4y 的最小值发生在 y 最小的时候。由已知条件 x > 0，y > 0，可以推断 y 的最小值是 0，并代入等式得到 x + 4*0 = 3，即 x = 3。此时 x+4y 的最小值等于 3，因此选项 C 成立。 最后，考虑选项 D，x+2y 的最小值是 4√2-3。我们可以计算 x + 2y 的最小值，将已知等式的两侧同时减去 x/(y+1)，得到 x - x/(y+1) + xy - x/(y+1) = 3 - x/(y+1)，合并同类项得到 - x/(y+1) + xy = 3 - x/(y+1)。我们可以看到等式左侧的部分是关于 x 的减函数，右侧的部分是一个固定值，因此它们的和 x+2y 的最小值发生在 x 最小的时候。由已知条件 x > 0，y > 0，可以推断 x 的最小值是 0，并代入等式得到 0 + 2*0 = 0，即 x+2y 的最

答：与选项 D 不符合。综上所述，选项 B 和选项 C 成立，其余选项均不成立。