Question

大学高数题

Answer 1

问：大学高数题

问：老师，题有点多麻烦老师了

答：我们可以将f(x)展开成以下形式的幂级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{2^{2n+1}}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^3+\frac{1}{32}x^5-\frac{1}{128}x^7+\cdots$$其中，我们使用了二项式定理将$\left(\frac{x}{2}\right)^2-1$展开，并观察到出现了$(-1)^n$的项。幂级数收敛半径$R$可以通过求解极限$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$来得到，其中$a_n$是幂级数中$x^n$的系数。$$\lim_{n\to\infty} \frac{|(-1)^n \frac{1}{2^{2n+1}}|}{|(-1)^{n+1} \frac{1}{2^{2(n+1)+1}}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{2(n+1)+1}}{2^{2n+1}}=\lim_{n\to\infty} 8 = 8$$收敛半径为$R=\frac{1}{8}$。因此，当$|x|<\

问：老师，其他题呢

答：好的同学，我都发图片给你回答正确的答案

答：另外那张图片麻烦同学你帮老师从新发一下，一题一题的拍的清楚一些，方便老师更详细准确的帮你解答

答：6.求微分方程(1+x2)y"= 2xy'的通解.

答：同学另外一张图片里的内容请拍清楚发给老师一下

问：五、（本题满分8分）计算三重积分fffz(x2+y2)dxdydz,其中Ω是由曲面z=x2+y2与平面z=4围成的闭区域.六、（本题满分8分）计算曲面积分I=ffxydydz+ffyzdzdx+ffxzdxdy,其中∑为平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧

答：同学你好，这是这道题fffz(x2+y2)dxdydz,其中Ω是由曲面z=x2+y2与平面z=4围成的闭区域.的回答

答：根据斯托克斯定理，该曲面积分可化为三重积分：I = ∬(curl F) · dS其中，F=为向量场，curl F=∇ × F，dS为曲面S的面积元素。首先求向量场F的旋度：curl F = [∂(zx)/∂y - ∂(yz)/∂z, ∂(xy)/∂z - ∂(zx)/∂x, ∂(yz)/∂x - ∂(xy)/∂y]展开求解：curl F = [z, x, y]现在需要对曲面S进行参数化， 曲面S由三个平面围成，一般使用图形特征来进行参数化。注意到第一项为xy，与z无关，与x轴和y轴对称，因此可以将S绕z轴旋转，绕x=y轴对称。令 z = z(x,y) = 1-x-yS 应在 xy 面内 x+y<=1，其边界为三个平面1. xz 平面：y=0, 0 <= x <= 1, 0 <= z <= 1-x2. yz 平面：x=0, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 1-y3. x+y+z=1平面：0 <= x <= 1-y, 0 <= y <= 1-z, 0 <= z <= 1对于每个面，需要分开计算曲面积分。

答：（1）对于xz面：首先算出该面上的面积元素dSdS = (0, -1, 0) · dx × dz其中，dx × dz = (-∂z/∂x, 0, 1) · √(1 + (∂z/∂x)^2 + 0) dxdz∂z/∂x = -1，因此dx × dz = (1, 0, 1) dxdz代入得dS = (-1) dxdz根据斯托克斯定理：I1 = ∫∫〖(curl F) · dS〗 = ∫∫ curl F · (0, -1, 0) dx dz = ∫∫ (x-zy) dx dz = ∫^1_0dx ∫^(1-x)_0(x-z(1-x-y))dz = 1/6（2）对于yz面：dS = (-1, 0, 0) · dy × dz = (1, 0, 0) dy dz代入得I2 = ∫∫ curl F · (-1, 0, 0) dy dz = ∫∫ (z^2 - y^2) dy dz = 1/3（3）对于平面x+y+z=1:dS = (1,

答：（3）对于平面x+y+z=1:dS = (1, 1, 1) · dx × dy = (∂z/∂x, ∂z/∂y, -1) · √(1 + (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2) dxdy在该平面 dz/dx=-1,dz/dy=-1，代入得dS = √3 dxdyI3 = ∫(1-z) dS = ∫^1_0dx ∫^(1-x)_0(1-x-y)√3dy = ∫^1_0dx [(1-x)^2/2]√3 = 1/3√3因此，I = I1 + I2 + I3 = 1/6 + 1/3 + 1/3√3 = 0.6277 (四舍五入到四个有效数字)