设L为曲线x^2+y^2=1上点（0.1）与（0，-1）之间一段弧则/L（x^2y^3+1）ds=多少 过程想看看 还有就是如果是dx上下限就是0了那是直接得0吗还是说只能对y
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您好，很高兴为您解答
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首先我们需要求出曲线 $x^2+y^2=1$ 上点$(0,1)$到$(0,-1)$之间的弧长$L$，然后再利用该弧长来计算积分$\int_L (x^2y^3+1)ds$。
由于曲线 $x^2+y^2=1$ 是一个圆形，因此点$(0,1)$和$(0,-1)$之间的弧长为半个圆周长，即$L=\pi$。
接下来考虑计算积分$\int_L (x^2y^3+1)ds$。根据弧长的定义，有$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$，其中$x$和$y$是关于参数$t$的函数。
因此，
$$\begin{aligned}
\int_L (x^2y^3+1)ds &= \int_0^\pi (x^2y^3+1)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \\
&= \int_0^\pi (x^2y^3+1)\sqrt{\left(\frac{d}{dt}\cos t\right)^2+\left(\frac{d}{dt}\sin t\right)^2}dt \\
&= \int_0^\pi (x^2y^3+1)dt \\
&= \int_0^\pi (\cos^2t\sin^3t+1)dt \\
&= \int_0^\pi \sin^3t\cos^2t dt + \int_0^\pi dt \\
&= \frac{1}{4}+\frac{\pi}{2}
\end{aligned}$$
因此，$\int_L (x^2y^3+1)ds=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{2}$。
至于问题中提到的关于$x$和$y$的积分限定，如果上下限都是0，则积分等于0，因为这相当于对一个长度为0的曲线进行积分。如果只对$y$进行积分，则需要将曲线写成$y=f(x)$的形式，再按照一般的方法进行计算。
咨询记录 · 回答于2024-01-07
设L为曲线x^2+y^2=1上点（0.1）与（0，-1）之间一段弧则/L（x^2y^3+1）ds=多少 过程想看看 还有就是如果是dx上下限就是0了那是直接得0吗还是说只能对y
您好，很高兴为您解答：
首先我们需要求出曲线 $x^2+y^2=1$ 上点$(0,1)$到$(0,-1)$之间的弧长$L$，然后再利用该弧长来计算积分$\int_L (x^2y^3+1)ds$。
由于曲线 $x^2+y^2=1$ 是一个圆形，因此点$(0,1)$和$(0,-1)$之间的弧长为半个圆周长，即$L=\pi$。
接下来考虑计算积分$\int_L (x^2y^3+1)ds$。根据弧长的定义，有$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$，其中$x$和$y$是关于参数$t$的函数。
因此，
$$\begin{aligned}
\int_L (x^2y^3+1)ds &= \int_0^\pi (x^2y^3+1)\sqrt{\left(\frac{dx{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \\
&= \int_0^\pi (x^2y^3+1)\sqrt{\left(\frac{d}{dt}\cos t\right)^2+\left(\frac{d}{dt}\sin t\right)^2}dt \\
&= \int_0^\pi (x^2y^3+1)dt \\
&= \int_0^\pi (\cos^2t\sin^3t+1)dt \\
&= \int_0^\pi \sin^3t\cos^2t dt + \int_0^\pi dt \\
&= \frac{1}{4}+\frac{\pi}{2}
\end{aligned}$$
因此，$\int_L (x^2y^3+1)ds=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{2}$。
至于问题中提到的关于$x$和$y$的积分限定，如果上下限都是0，则积分等于0，因为这相当于对一个长度为0的曲线进行积分。如果只对$y$进行积分，则需要将曲线写成$y=f(x)$的形式，再按照一般的方法进行计算。
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首先我们需要求出曲线 $x^2+y^2=1$ 上点$(0,1)$到$(0,-1)$之间的弧长$L$，然后再利用该弧长来计算积分$\int_L (x^2y^3+1)ds$。
由于曲线 $x^2+y^2=1$ 是一个圆形，因此点$(0,1)$和$(0,-1)$之间的弧长为半个圆周长，即$L=\pi$。
接下来考虑计算积分$\int_L (x^2y^3+1)ds$。根据弧长的定义，有$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$，其中$x$和$y$是关于参数$t$的函数。
因此，
$$\begin{aligned}
\int_L (x^2y^3+1)ds &= \int_0^\pi (x^2y^3+1)\sqrt{\left(\frac{dx{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \\
&= \int_0^\pi (x^2y^3+1)\sqrt{\left(\frac{d}{dt}\cos t\right)^2+\left(\frac{d}{dt}\sin t\right)^2}dt \\
&= \int_0^\pi (x^2y^3+1)dt \\
&= \int_0^\pi (\cos^2t\sin^3t+1)dt \\
&= \int_0^\pi \sin^3t\cos^2t dt + \int_0^\pi dt \\
&= \frac{1}{4}+\frac{\pi}{2}
\end{aligned}$$
因此，$\int_L (x^2y^3+1)ds=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{2}$。
至于问题中提到的关于$x$和$y$的积分限定，如果上下限都是0，则积分等于0，因为这相当于对一个长度为0的曲线进行积分。如果只对$y$进行积分，则需要将曲线写成$y=f(x)$的形式，再按照一般的方法进行计算。
那个xy专t的方程能看一下吗 有点不会转换
亲亲~好的哦。
派到0这个上下限是t的范围吧
亲亲~派到0这个上下限是t的范围的哦。
不转参会很难做吧
亲亲~不转参会很难做的哦。
亲亲~您按照老师上面给您的图片就可以哦。
明白了十分感谢【提问】<
谢【提问】<
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