Question

线性代数题目解疑

Answer 1

问：线性代数题目解疑

问：这道题请问怎么做

问：抱歉，没有文字形式，只有图片能解吗？

答：亲亲，很高兴为您解答哦，要证明条件AAT正定等价于r(A)=m，我们需要证明两个方向：假设AAT正定，则r(A)=m：假设AAT是正定的，即对于任意非零向量x，有xT(AAT)x > 0。我们知道AAT是一个m*m的实对称矩阵。根据实对称矩阵的性质，它可以进行特征值分解，表示为AAT = QΛQT，其中Q是正交矩阵，Λ是对角矩阵。设v是一个m维非零向量，且Av = 0，则有AATv = QΛQTv = 0。由于AAT正定，根据正定矩阵的定义，只有当v = 0时，才有AATv = 0。因此，核(A) = {0}，即A的零空间只包含零向量。根据秩-零度定理，我们知道r(A) = m。

答：2. 假设r(A)=m，则AAT正定：假设r(A) = m，即A的列空间的维度为m。那么A的列向量线性无关，可以构成一个m维的子空间。我们可以将这些列向量组成一个mn的矩阵B，使得B的列向量是A的列向量的扩展。显然，矩阵B的秩也是m。由于A和B具有相同的列空间，它们的列空间维度相同，即r(B) = m。而B的转置矩阵BT是一个nm的矩阵，根据秩-零度定理，r(BT) = r(B) = m。由于r(BT) = r(B)，我们可以得出结论r(BTBT) = r(BT) = m。注意到BTBT = (AAT)T，因此有r((AAT)T) = m。又因为(AAT)T是一个对称矩阵，所以它的秩等于它的非零特征值的个数。因此，当r((AAT)T) = m时，AAT有m个非零特征值，即AAT正定。综上所述，条件AAT正定等价于r(A) = m。