Question

证明函数列不一致收敛但内闭一致收敛

Answer 1

问：证明函数列不一致收敛但内闭一致收敛

答：你好，考虑以下函数列： $f_n(x)=\begin{cases} 0, & x\leq n \\ x-n, & n0$，存在$x$和$n,m$，使得$|f_m(x)-f_n(x)|\geq \varepsilon$，即$f_n(x)$不一致收敛。 接下来证明$f_n(x)$内闭一致收敛。注意到对于任意$x\in \mathbb{R}$，只需取$N=\lfloor x\rfloor$，则当$n>N$时，$f_n(x)=1$。于是，对于任意$\varepsilon>0$，只需取$N=\lceil \varepsilon\rceil$，则当$n>N$时，$|f_n(x)-1|\leq \varepsilon$，即$f_n(x)$在$[N,\infty)$上内闭一致收敛于常值函数$1$。同理可证$f_n(x)$在$(-\infty,-N]$上内闭一致收敛于常值函数$0$。而在$[-N,N]$上，$f_n(x)$是一个连续函数且$f_n(x)\to 0$，于是也内闭一致收敛于$0$。

答：对于这个问题，其实可以证明更加严格的结论： 任意一个有界区间上的逐点收敛的函数列，都可以构造出一个不一致收敛但内闭一致收敛的子列。 可以将上述构造方法推广到任意有界区间$[a,b]$上。具体地，对于每个$n\in \mathbb{N}$，在$[a,b]$上取一个长度为$\frac{1}{n}$的区间$(x_{n}, x_{n}+\frac{1}{n})$，并定义 $g_n(x)=\begin{cases}0, & x\leq a \\ (nx-n+1)(x-x_{n}), & x\in[x_{n},x_{n}+\frac{1}{n}] \\ 1, & x\geq x_{n}+\frac{1}{n}\end{cases}$ 容易证明$g_n(x)$在$[a,b]$上逐点收敛于常值函数$1$，但不一致收敛。另一方面，注意到每个$g_n(x)$都只在某个长度为$\frac{1}{n}$的区间上非零，于是对于任意$\varepsilon>0$，只需取$N=\lceil \frac{1}{\varepsilon}\rceil$，则当$n>N$时，$|g_n(x)-1|\leq \varepsilon$对任意$x\in[a,b]$成立，即$g_n(x)$内闭一致收敛于常值函数$1$。同理可证$g_n(x)$在$[a,b]$上内闭一致收敛于$0$的情形。

问：这都是乱码了

答：**举一个例子来证明函数列不一致收敛但内闭一致收敛** 考虑函数列 $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的表现。 首先，我们证明 $f_n(x)$ **不一致收敛于零函数**。事实上，对于任意 $\varepsilon>0$，取 $x=\frac{1}{\sqrt{n}}$，则有 $$f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\frac{1}{2}>\varepsilon$$于是 $f_n(x)$ 不一致收敛于零函数。 接下来，我们证明 $f_n(x)$ **内闭一致收敛于 $f(x)=0$**。首先，注意到对于任意 $x\in[0,1]$ 和 $n\in\mathbb{N}$，都有 $$|f_n(x)-f(x)|=\frac{nx}{1+n^2x^2}\leq \frac{x}{n}\rightarrow 0 \text{ 当 } n\rightarrow\infty$$于是，对于任意 $\varepsilon>0$，取 $N=\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\rfloor+1$，则当 $n>N$ 时，对于任意 $x\in[0,1]$，都有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。这说明 $f_n(x)$ 内闭一致收敛于 $f(x)=0$。

答：您好，电脑打出来就只能这样了