Question

16+若函数+f(x)=ax^2+x-xlnx+在+[1/2,6]+上单调递增,则实数a的取值范围是+__

Answer 1

问：16+若函数+f(x)=ax^2+x-xlnx+在+[1/2,6]+上单调递增,则实数a的取值范围是+__

答：首先求出f(x)的一阶导数和二阶导数：f'(x) = 2ax + 1 - ln x - 1f''(x) = 2a - 1/x因为+f(x)在区间[1/2,6]+上单调递增，所以f'(x)在该区间上恒大于0，即：2ax + 1 - ln x - 1 > 02ax > ln x - 1a > (ln x - 1) / 2x又因为a>0，所以x必须大于0。另一方面，f''(x)>0才能保证f(x)是凸函数，从而保证+f(x)在区间[1/2,6]+上单调递增，即：2a - 1/x > 0a > 1/2x将这个不等式和前面的a> (ln x - 1) / 2x 结合起来，得到：a > max{(ln x - 1) / 2x, 1/2x}对于区间[1/2,6]+上的任意x，有：(ln x - 1) / 2x > 1/2xln x - 1 > xx > e因此a的取值范围是：a > max{(ln 6 - 1) / 12, 1/12} = 1/12