Question

已知函数G:ax²+bx,且点X(p,q)、点Y(r,s)均在函数G的图像上,且p=r+a,q=s

Answer 1

问：已知函数G:ax²+bx,且点X(p,q)、点Y(r,s)均在函数G的图像上,且p=r+a,q=s

问：已知函数G：ax²+bx,且点X(p,q)、点Y（r，s）均在函数G的图像上，且p=r+a，q=s+2r-3a.已知a=1.（1）求函数G的解析式.（2）现已知在函数G上有一点A(3，m),过A点的直线l₁与G交于A、B两点,连接AB，直线l₂过点A且与G相切.在线段AB上有一动点P（与A、B不重合），过P点作y轴平行线交G与点C，交直线l₂与D，连接BC,过点D作DE//BC交l₁与点E，且DE与G相切，求P点的轨迹方程以及P点纵坐标的取值范围.

答：根据已知条件，点X(p,q)和点Y(r,s)均在函数G的图像上，且p=r+a，q=s。将点X(p,q)代入函数G中，得到：G§ = ap² + bp = q将点Y(r,s)代入函数G中，得到：G® = ar² + br = s由于p=r+a，将其代入上式中得到：G(r+a) = a(r+a)² + b(r+a) = s展开得到：ar² + 2ar + a² + br + ab = s由于q=s，将其代入上式中得到：ar² + 2ar + a² + br + ab = q将q=s代入上式中得到：ar² + 2ar + a² + br + ab = q由于p=r+a，将其代入上式中得到：a(r+a)² + 2a(r+a) + a² + b(r+a) + ab = q展开得到：ar² + 2ar + a² + br + ab = q可以看出，上式与之前得到的式子相同，因此满足条件。综上所述，点X(p,q)和点Y(r,s)均在函数G的图像上，且p=r+a，q=s。

答：好的

答：根据已知条件，我们可以逐步解决问题：(1) 已知a=1，代入p=r+a得到p=r+1。又已知q=s+2r-3a，代入a=1得到q=s+2r-3。将p=r+1和q=s+2r-3代入函数G的表达式ax²+bx中，得到函数G的解析式为G(x) = x² + 2x - 3。

答：(2) 现在我们来解决问题的第二部分。首先，过点A(3, m)的直线l₁的斜率为k₁，由于直线l₁与函数G相交于A、B两点，所以G(3) = m，代入函数G的解析式得到3² + 2(3) - 3 = m，解得m = 9。其次，直线l₂过点A(3, 9)，且与函数G相切。由于直线l₂与函数G相切，所以直线l₂的斜率等于函数G在点A的导数，即G’(3)。计算函数G的导数得到G’(x) = 2x + 2，代入x=3得到G’(3) = 2(3) + 2 = 8。所以直线l₂的斜率为k₂ = 8。接下来，我们来求解P点的轨迹方程和纵坐标的取值范围。设P点的横坐标为x，纵坐标为y。由于P点在直线l₁上，所以直线l₁的方程为y = k₁x + c₁，其中c₁为常数。由于直线l₁过点A(3, 9)，代入得到9 = k₁(3) + c₁，解得c₁ = 9 - 3k₁。又因为P点在函数G上，所以函数G的方程为y = G(x) = x² + 2x - 3。将直线l₁的方程和函数G的方程联立，得到x² + 2x - 3 = k₁x + (9 - 3k₁)。由于直线l₁与函数G相交于A、B两点，所以

答：由于直线l₁与函数G相交于A、B两点，所以上述方程有两个实数解。根据韦达定理，两个实数解的乘积等于常数项系数的倒数，即(-3) = (9 - 3k₁) / 1，解得k₁ = -4。代入k₁ = -4到直线l₁的方程y = k₁x + c₁中，得到y = -4x + c₁。由于直线l₁与函数G相交于A、B两点，所以直线l₁与函数G的交点B的横坐标为x，纵坐标为y，满足y = G(x) = x² + 2x - 3。将直线l₁的方程和函数G的方程联立，得到x² + 2x - 3 = -4x + c₁，整理得到x² + 6x - 3 - c₁ = 0。根据题目要求，直线l₁与G相交于A、B两点，所以上述方程有两个实数解。根据韦达定理，两个实数解的乘积等于常数项系数的倒数，即(-3 - c₁) = (-3 - c₁) / 1，解得c₁ = -3。代入c₁ = -3到直线l₁的方程y = -4x + c₁中，得到y = -4x - 3。所以直线l₁的方程为y = -4x - 3。最后，我们来求P点纵坐标的取值范围。根据题目要求，直线l₁与函数G相交于A、B两点，所以P点的纵坐标y满足y >

答：最后，我们来求P点纵坐标的取值范围。根据题目要求，直线l₁与函数G相交于A、B两点，所以P点的纵坐标y满足y > G(x)。代入函数G的解析式y = x² + 2x - 3中，得到y > x² + 2x - 3。整理得到x² + 2x - y - 3 < 0。根据题目要求，直线l₂与G相切，所以P点的纵坐标y满足y = G(x)。代入函数G的解析式y = x² + 2x - 3中，得到y = x² + 2x - 3。所以P点的纵坐标的取值范围为y = x² + 2x - 3。综上所述，P点的轨迹方程为y = x² + 2x - 3，P点的纵坐标的取值范围为y = x² + 2x - 3。

问：没有了吗？

问：图像绘画出来一下

问：第一问:把a=1代入:p=r+1,q=2r+s-3设f(x)=ax²+bxf(x+1)-f(x)=2x+1+b∴2r-3=2r+1+bb=-4解答如下:易得：l2:y=2x-9设H(m,m²-4m)设DH的解析式为kx+c接下来就是用m将解析式表示出来:这里就不求导数了。kx+c=x²-4xx²-(4+k)-c=0△=0∴x=(4+k)/2k=2x-4则k=2m-4∴DH:y=(2m-4)x-m²与l2联立:(2m-4)x-m²=2x-9(2m-6)x=m²-9∵H是异于A的一点∴m≠3x=(m+3)/2 

答：首先，将a=1代入已知条件，得到p=r+1和q=2r+s-3。设函数G(x) = ax² + bx，代入a=1和b=0，得到G(x) = x²。根据已知条件p=r+1和q=2r+s-3，可以得到：r = p - 1s = q + 3 - 2r代入函数G(x) = x²，得到：s = G® = (p - 1)²所以函数G的解析式为G(x) = x²。对于第二部分的问题，我们来解决P点的轨迹方程和纵坐标的取值范围。设P点的横坐标为x，纵坐标为y。由题目已知，过P点作y轴平行线交G与点C，交直线l₂与D，连接BC，过点D作DE//BC交l₁与点E，且DE与G相切。首先，过P点作y轴平行线交G与点C。由于y轴平行线与G的交点的横坐标为x，纵坐标为G(x) = x²，所以点C的坐标为(x, G(x)) = (x, x²)。其次，直线l₂过点A(3, m)，且与G相切。由于直线l₂与G相切，所以直线l₂的斜率等于函数G在点A的导数，即G’(3)。计算函数G的导数得到G’(x) = 2x，代入x=3得到G’(3) = 2(3) = 6。所以直线l₂的斜率为k₂ = 6。由于直

答：由于直线l₂过点A(3, m)，所以直线l₂的方程为y - m = k₂(x - 3)，展开得到y = 6x - 18 + m。接下来，我们来求解P点的轨迹方程。由题目已知，直线l₁与G相交于A、B两点，所以P点的纵坐标y满足y > G(x) = x²。代入函数G的解析式y = x²，得到y > x²。同时，直线l₁与G相交于A、B两点，所以直线l₁与G的交点B的横坐标为x，纵坐标为y，满足y = G(x) = x²。将直线l₁的方程和函数G的方程联立，得到x² + 2x - 3 = -4x - 3，整理得到x² + 6x = 0，解得x = 0或x = -6。综上所述，P点的轨迹方程为y > x²，纵坐标的取值范围为y > x²。