Question

平行四边形ABCD，AE平分角BAD，DF垂直于BC交BC于点F，AE与DF交于点G，求AB与DG+FC之间的关系

且AD=DE

Answer 1

解：
AB与DG＋FC之间的数量关系是AB＝DG＋FC
理由如下：
延长AE、BC交于H，
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB//CD，AB＝CD，AD//BC，AD＝BC
又已知DF＝AD
所以可设AD＝BC＝DF＝a，AB＝CD＝b，FC＝c
因为DF⊥BC
所以a^2＝b^2－c^2
所a^2＝(b＋c)(b－c)
因为AE平分∠BAD，∠AED＝∠BAE，∠H＝∠DAE
所以∠DAE＝∠AED＝∠CEH＝∠H
所以DE＝AD＝a，CH＝CE＝b－a
所以FH＝c＋b－a
因为AD//BH
所以DG/GF＝AD/FH
所以DG/(a－DG)＝a/(c＋b－a)
所以DG/a＝a/(b＋c)
所以DG＝a^2/(b＋c)
＝(b＋c)(b－c)/(b＋c)
＝b－c
所以b＝DG＋c
即AB＝DG＋FC

解答中设a,b,c仅仅是为了叙述的方便。开始的时候用角平分线性质定理进行证明，能解决问题但过程很繁