Question

证明若A为非奇异矩阵，则A-1的特征值为λ-1，并证明如果A是正交矩阵，则cond(A)2＝1

Answer 1

问：证明若A为非奇异矩阵，则A-1的特征值为λ-1，并证明如果A是正交矩阵，则cond(A)2＝1

答：您好，经过核实，证: 设A是正交矩阵, λ是A的特征值, α是A的属于λ的特征向量则 A^TA = E (E单位矩阵), Aα=λα, α≠0考虑向量λα与λα的内积.一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).另一方面,(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα= α^Tα = (α,α).所以有 λ^2(α,α) = (α,α).又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0.所以 λ^2 = 1.所以 λ = ±1.即正交矩阵的特征值只能是1或-1 #