Question

抽象代数的一道证明题，设G是一个4阶群，证明:1.G的中心的阶大于1；2.G是交换群；3.若G是非循环群，则G同构于两个Z/(2)的直和

Answer 1

问：抽象代数的一道证明题，设G是一个4阶群，证明:1.G的中心的阶大于1；2.G是交换群；3.若G是非循环群，则G同构于两个Z/(2)的直和

答：1. 证明G的中心的阶大于1： 由定义知，中心是所有元素对任意元素都具有可交换性的子群，即它是一个群的子群，所以G的中心的阶大于1。 2. 证明G是交换群： 由定义知，交换群是满足任意两个元素都可以通过一个元素的乘法交换得到的群，即可以经过一次乘法操作得到相反元素，所以G是交换群。 3. 若G是非循环群，则G同构于两个Z/(2)的直和： 由定义知，非循环群是满足任意元素的乘法不能得到自身的群，即它的乘法不存在单位元，所以G同构于两个Z/(2)的直和。

问：咱这是就列了一下定义，然后就“所以”得结论了呀，这算是什么证明过程？跟证明不沾边吧。

答：亲还有什么问题吗

答：亲你的问题是什么

问：我想要的是这道题的详细解答过程

答：有原题吗亲

答：(i) 由于G是4阶群，它的元素个数为4，即|G|=4。因此，|C(G)|=|G|-1=4-1=3，显然|C(G)|>1。 (ii) 证明： 由于G是4阶群，它的元素个数为4，即|G|=4。因此，G是交换群。若G是非循环群，则G的元素必须是2阶的，即|G|=2。由于G是交换群，因此G≌Z/(2)田Z/(2)。