Question

拉格朗日定理第二个条件不成立，即在区间不可导怎么证明定理不成立

Answer 1

问：拉格朗日定理第二个条件不成立，即在区间不可导怎么证明定理不成立

答：拉格朗日中值定理的第二个条件是“f(x)在[a, b]内可导”，如果这个条件不成立，即f(x)在[a, b]内不可导，那么拉格朗日中值定理就不成立了。为了证明这一点，我们可以采用反证法。假设在区间[a, b]内f(x)不可导，但是满足拉格朗日中值定理的条件，即f(a) = f(b)，那么根据拉格朗日中值定理，必然存在一个c ∈ (a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) = 0。然而，由于f(x)在[a, b]内不可导，因此f'(c)不存在，这与上述结论矛盾，因此假设不成立，即当f(x)在[a, b]内不可导时，拉格朗日中值定理不成立。因此，拉格朗日中值定理的第二个条件“f(x)在[a, b]内可导”是该定理成立的必要条件，只有在满足这个条件的情况下，才能应用该定理来证明某些结论。

问：不好意思，我还是不太清楚，我考研，大学数学是零基础，不太明白为什么要满足拉格朗日定理条件f(a）=f(b),这不是罗尔定理的条件吗？也不明白就算是有f'(c)=0,为什么会有f'(c)=f(a)-f(b)/a-b，这不是要证明这个不成立吗，怎么拿来当条件用？

答：拉格朗日中值定理：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续，在区间 $(a,b)$ 内可导，则存在 $c \in (a,b)$，使得 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。证明过程：定义函数 $g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，则 $g(a)=f(a),g(b)=f(b)$。根据罗尔定理，存在 $c \in (a,b)$，使得 $g'(c)=0$。根据 $g'(x)$ 的定义，有 $g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，即 $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。因此，存在 $c \in (a,b)$，使得 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。需要注意的是，拉格朗日中值定理的条件为函数在区间 $[a,b]$ 内连续，在区间 $(a,b)$ 内可导，并且 $f(a)=f(b)$ 不是必要的条件。另外，结论表明了在 $[a,b]$ 内必然存在某个点 $c$，使得斜率等于区间两端点的函数值之差与区间长度的比值。这个结论在数学和物理学中都有广泛的应用，例如可以用来证明某些方程的存在性和唯一性，以及用来推导各种物理定理。