Question

试证明在一个2×2的矩阵中有两个相同的特征值其中对应的特征向量为线性独立

Answer 1

问：试证明在一个2×2的矩阵中有两个相同的特征值其中对应的特征向量为线性独立

答：你好，设矩阵为A=[a b;c d]，其中a,b,c,d为实数，特征值为λ1,λ2，对应的特征向量为v1,v2。则有A*v1=λ1*v1，即(A - λ1I)*v1=0，其中I为2阶单位矩阵。同理，有(A - λ2I)*v2=0。若λ1≠λ2，则v1,v2一定线性无关，因为它们对应不同的特征值。

答：若λ1=λ2，则有(A - λ1I)*v1=0和(A - λ1I)*v2=0，即(A - λ1I)*(v1+v2)=0。若v1+v2≠0，则v1,v2线性相关，与题目所述矛盾。因此，只能有v1+v2=0，即v1=-v2。由此可知，v1,v2线性独立。

问：第五题这个怎么证明

答：你好，我这边图片格式不显示，方便以文字的形式叙述吗

问：尝试证明基的转换不会影响特征值，已知在基v中矩阵a其中一个特征值为X1，其对应的特征向量为xv

答：设矩阵A在基v下的表示为[A]_v，在另一组基w下的表示为[A]_w，则有矩阵关系式[A]_w = P_{w←v}[A]_v P_{v←w}，其中P_{w←v}为从v到w的转移矩阵，P_{v←w}为从w到v的转移矩阵。设X1为矩阵A在基v下的特征值，xv为矩阵A在基v下的对应特征向量，即Axv = X1xv。我们需要证明，X1也是矩阵A在基w下的特征值，即存在一个向量xw，满足Axw = X1xw。

答：由于矩阵A在基v下的特征向量xv可以通过转移矩阵P_{w←v}变换到基w下，即xw = P_{w←v}xv，因此有：Axw = A(P_{w←v}xv) = P_{w←v}(Axv) = P_{w←v}(X1xv) = X1(P_{w←v}xv) = X1xw因此，X1也是矩阵A在基w下的特征值，证毕。可以看出，特征值并不依赖于基的选择，只与矩阵本身有关。