证明:f(x)=lnx.Sinx 在(0、1)上有唯一极值点
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首先，我们需要求导数：
f'(x) = (1/x)cosx + lnx*cosx
然后，我们需要解方程f'(x) = 0，来找到极值点。
将f'(x)设置为0，我们得到：
(1/x)cosx + lnx*cosx = 0
整理得：
cosx(1/x + lnx) = 0
当cosx = 0时，我们有：
x = (n + 1/2)π，其中n为整数。但由于x∈(0,1)，所以此时无解。
当1/x + lnx = 0时，我们有：
lnx = -1/x
xlnx = -1
这是一个经典的方程，我们可以通过数学分析得知，在(0,1)上只有一个解，即：
x = 1/e。
因此，函数f(x)=lnx.Sinx在(0,1)上存在且唯一的极值点为：
x = 1/e，且为极小值点。
咨询记录 · 回答于2024-01-14
证明:f(x)=lnx.Sinx 在(0、1)上有唯一极值点
好的
首先求导：
f'(x) = (1/x)cosx + lnx*cosx
然后解方程f'(x) = 0，得到极值点：
(1/x)cosx + lnx*cosx = 0
cosx(1/x + lnx) = 0
当cosx = 0时，有
x = (n + 1/2)π，其中n为整数，但由于x∈(0,1)，所以此时无解。
当1/x + lnx = 0时，有
lnx = -1/x
xlnx = -1
这是一个经典的方程，可以通过数学分析得知，在(0,1)上只有一个解，即
x = 1/e。
因此，f(x)=lnx.Sinx在(0,1)上存在且唯一的极值点为x = 1/e，且为极小值点。
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