Question

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知c＝3cosC＝11/16，sinB＝2sinA ，(1)求a (2)求三角形ABC的内切圆的面积

Answer 1

问：在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知c＝3cosC＝11/16，sinB＝2sinA ，(1)求a (2)求三角形ABC的内切圆的面积

答：亲您好，(1) 由已知条件可知，c = 3cosC = 11/16，因此cosC = 11/48。由三角形余弦定理得：b² = a² + c² - 2ac cosB代入已知条件，得：b² = a² + (11/16)² - 2a(11/16)sinA由正弦定理可知，sinA/a = sinC/c，即sinA = asinC/c。代入已知条件，得：sinA = 2sinB = 2sin(180°-A-C) = 2sin(A+C)因此，sinA = 2sinAcosC + 2cosAsinC = 2sinA(11/48) + 2cosA(4/3)

答：整理得：tanA = (11/24)tanA + (2/3)tanA = 6/5由正切的定义可知，tanA = a/b，代入已知条件，得：a/b = 6/5因此，b = (5/6)a，代入上述的b²的式子中，整理得：a = √(48/25)因此，三角形ABC中对边为a的角是∠A，其长度为a = √(48/25)。(2) 三角形ABC的内切圆是三角形ABC内接于三边的圆，其半径r等于三角形ABC的面积S除以半周长s的值，即r=S/s。根据海伦公式，三角形ABC的半周长s为s=(a+b+c)/2，因此s = (a + (5/6)a + 3cosC) / 2代入已知条件，得：s = (11/12)a + (3/2)cosC根据三角形面积公式，三角形ABC的面积S为：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]代入已知条件，整理得：S = (a/2)√[(11/12)a(1/12)a(7/48)a]因此，三角形ABC内切圆的半径r为：r = S/s = [(11/12)a(1/12)a(7/48)a] / [(11/12)a + (3/2)cosC]代入已知条件，整理得：r = a/3 = √(16/75)因此，三角形ABC内切圆的面积为：πr² = π(16/75) = 16π/75。