Question

已知抛物线的焦点为F,抛物线C上有一动点P,C:x^2=-20y 且Q(-3,-6),则的最大值

Answer 1

问：已知抛物线的焦点为F,抛物线C上有一动点P,C:x^2=-20y 且Q(-3,-6),则的最大值

答：因为F是抛物线的焦点，所以F到抛物线上任意一点的距离等于该点到直线y=-20/4=-5的距离，即FP=PC的垂线距离。 将C的方程化为标准形式，得到y=-x^2/20。 P的横坐标为x，纵坐标为-y/20=-x^2/400。 设P到直线y=-5的距离为d，即|y-(-5)|=|x^2/20-5|=d。 解得x=±20√(d+5)，因为题目中要求最大值，所以取正号。 根据Q的坐标可以得到P到F的距离为√[(20x+3)^2+(20y+6)^2]。 将前面得到的x代入，得到P到F的距离为√[(400d+1667)^2+(400d+326)^2]。 要求最大值，即求导数为0的点，即(√(d),(?))，其中?是需要求的最大值。 因为求的是最大值，所以可以将√[(400d+1667)^2+(400d+326)^2]的平方作为目标函数，即f(d)=(400d+1667)^2+(400d+326)^2。 对f(d)求导，得到f'(d)=320000d+2974806，令f'(d)=0，解得d=-9.304。 将d代入前面得到的表达式中，得到P的坐标为(20√(d+5),-√(d+5))，即P=(20√(5.696),-√(5.696))。 将P的坐标代入求FP的距离公式中，得到FP≈21.256。 因此，最大值应该是21.256。

答：这是答案和解析 亲

问：可以写在本子上吗？能不能不用导数做，换一种方法，谢谢

答：好的亲

答：想要那种方法

答：您方便说一下吗

问：用高中知识解决，抛物线的几何性质可以吗？

答：由题意可知，抛物线的方程为：$x^2=-20y$ 其焦点为F，且点Q(-3,-6)在抛物线上。根据抛物线的性质可知，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线的直线的垂距的两倍。即：PF = 2d其中，d为点P到抛物线的直线的垂距。 将点Q代入上式可得：FQ = 2d 又因为Q点已知，所以可以求出焦点F的坐标。由于焦点在抛物线的顶点上，所以可以通过顶点的坐标求出焦点的坐标。 抛物线的顶点为(0,0)，所以焦点的坐标为(0,-5)。 因为抛物线的焦距为p=-5，所以抛物线的直径为10。 当点P到抛物线的直线的垂距为最大值时，点P到焦点F的距离也将是最大值。因此，求解出点P到抛物线的直线的垂距的最大值即可得到点P到焦点F的距离的最大值。 将点P的坐标代入抛物线的方程可得：$x^2 = -20y$ 将y带入到点P到抛物线的直线的垂距的公式$d = |ax1 + by1 + c|/sqrt(a^2+b^2)$中，化简可得：$d = |x|$ 因此，点P到抛物线的直线的垂距的最大值为抛物线的顶点到抛物线的x轴的距离，即最大值为5。 故，点P到焦点F的距离的最大值为10，即抛物线的直径，因为焦点F在抛物线的顶点上。

答：这是答案和解析 亲