Question

(3) y(2xy+e^x)dx-e^xdy=0;

Answer 1

问：(3) y(2xy+e^x)dx-e^xdy=0;

答：要解决这个微分方程，我们需要检查它是否是恰当的。为此，我们需要验证它是否满足以下条件：(d/dy)(M) = (d/dx)(N)其中，M 和 N 分别是方程左侧和右侧的函数。首先，我们需要将方程写成如下形式：M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0在这种情况下，我们有：M(x,y) = 2xy + e^xN(x,y) = -e^x然后，我们需要计算 M 和 N 的偏导数：(d/dy)(M) = 2x(d/dx)(N) = -e^x这两个偏导数不相等，因此方程不是恰当的。接下来，我们需要找到一个积分因子，使得将其乘到原方程两侧后，得到一个恰当的微分方程。我们可以通过求解以下方程来找到这个积分因子：(∂/∂y)(μM) = (∂/∂x)(μN)其中，μ 是积分因子。通过计算可以得到：(∂/∂y)(μM) = 2xμ(∂/∂x)(μN) = -μe^x因此，我们需要找到一个函数 μ(x,y)，满足以下方程：(∂/∂y)(μM) - (∂/∂x)(μN) = -μe^x这是一个关于 μ 的偏微分方程。我们可以使用常数变易法来解决它。假设：μ(x,y) = f(x)e^y其中，f(x) 是关于 x 的函数。将 μ 带入到上述偏微分方程中，我们得到：f'(x)e^y(2xy + e^x) - f(x)e^y(e^x) = -f(x)e^xe^y将 e^y 除到左侧，我们得到：f'(x)(2xye^y + e^(2y)) - f(x)e^x = -f(x)e^(2y)整理后，得到：f'(x) = -e^x解这个一阶常微分方程，我们得到：f(x) = -e^x + C其中，C 是一个常数。因此，积分因子为：μ(x,y) = (-e^x + C)e^y现在，我们可以将积分因子乘到原方程两侧，得到：(-2xye^x + Ce^x + C_1)dx + (-e^xe^y + C_2)dy = 0其中，C_1 和 C_2 是常数。注意，我们还可以将积分因子乘以一个常数，而不会改变原方程。

答：现在，这个微分方程是恰当的，因为：(d/dy)(-2xye^x + Ce^x + C_1) = -e^xe^y + C_2(d/dx)(-e^xe^y + C_2) = -e^xe^y + C_2因此，我们可以使用积分来解决它。将方程重新排列，我们得到：(-2xye^x + Ce^x + C_1)dx = (e^xe^y - C_2)dy两侧同时积分，得到：x^2e^x + Ce^x + C_1x = e^xe^y + C_2y + K其中，K 是常数。因此，微分方程的通解为：x^2e^x - Ce^x - C_1x = e^xe^y + C_2y + K其中，C，C_1，C_2 和 K 都是常数，需要根据给定的初始条件来确定。希望这可以帮助你解决这个微分方程！

答：亲，您好，您的答案已经发给您了，在上面，如果没收到，麻烦您刷新一下哦！

问：M（x，y）是不是少乘了一个y？

答：在这个微分方程中，正确的形式应该是：M(x, y) = 2xy + e^x感谢你指出错误。