(sinA-2sin2B)tanA=4sin平方B证明a的平方=4bc
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咨询记录 · 回答于2024-01-02
(sinA-2sin2B)tanA=4sin平方B证明a的平方=4bc
根据正弦定理有：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
因此，sinB = bsinA/a 以及 sinC = csinA/a
将上述式子代入等式(sinA - 2sin2B)tanA = 4sin平方B中，则有：
(sinA - 2sin2B)tanA = 4sin平方B
(sinA - 2sin2B)sinA/b = 4(b*sinA/a)^2
将2sin2B用cos2B代替，并利用三角恒等式cos2B = (1 - tan平方B)/(1 + tan平方B)，则有：
sinA - (2/b)sinA(1 - tan平方B)/(1 + tan平方B) = 4b平方sin平方A/a平方
化简得到：
(1 + tan平方B)sinA - (2/b)(sinA - cos2B sinA) = 4b平方sin平方A/a平方
将cos2B代入，继续化简：
[(1 + tan平方B)^2 - 4tan平方B]*sinA = [(8b平方)/a - 1]sinA
注意到等式左侧只含有sinA，不为0，则消去sinA的项，有：
(1 + tan平方B)^2 - 4tan平方B = (8b平方)/a - 1
再次利用cos2B的表达式，化简左侧得：
(1 + tan平方B/2)^2 = 4sin平方B/2
化简右侧得：
8b平方/a - 1 = 4c平方/a - 1 - 4b平方/a + 4c平方/a
移项整理得：
4b*c = a平方
因此，证毕。
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