Question

12.计算定积分_1^2(e^(1/x))/(x^2)dx

Answer 1

问：12.计算定积分_1^2(e^(1/x))/(x^2)dx

答：这个积分需要用到换元法，令$u=1/x$，则$\frac{du}{dx}=-\frac{1}{x^2}$，$dx=-\frac{du}{u^2}$，将其代入原式得到： $\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{u} u^{2} du$ 这是一个比较常见的形式，可以使用分部积分法来求解。令$f(u)=u^2$，$g'(u)=e^u$，则$f'(u)=2u$，$g(u)=e^u$，代入公式得到： $\int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{u} u^{2} du = [u^{2} e^{u}]_{\frac{1}{2}}^{1} - 2\int_{\frac{1}{2}}^{1} u e^{u} du$ 对于第二个积分，可以再次使用分部积分法。令$f(u)=u$，$g'(u)=e^u$，则$f'(u)=1$，$g(u)=e^u$，代入公式得到： $\int_{\frac{1}{2}}^{1} u e^{u} du = [ue^{u}]_{\frac{1}{2}}^{1} - \int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{u} du$ 将上述结果代回原式得到： $\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx = [u^{2} e^{u} - 2ue^{u} + 2e^{u}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{3}{4} e - \frac{7}{4} e^{\frac{1}{2}}$ 所以，定积分$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx $的值约为$-0.0112$。