Question

1/(sinx^4)+(sinx^2)的不定积分

Answer 1

问：1/(sinx^4)+(sinx^2)的不定积分

答：要计算函数 1/(sin^4(x)) + sin^2(x) 的不定积分，我们可以先将其分解成两个部分的积分，然后分别求解。

答：第一部分是 1/(sin^4(x))，我们可以将其表示为 (1/sin^2(x))^2，然后进行变量代换。令 u = cot(x)，则 du = -csc^2(x) dx，同时注意到 csc^2(x) = 1 + cot^2(x) = 1 + u^2。将上述变量代换应用到积分中，得到：∫ 1/(sin^4(x)) dx = ∫ (1/sin^2(x))^2 dx= ∫ (-csc^2(x))^2 dx= ∫ (1 + cot^2(x))^2 (-csc^2(x)) dx= -∫ (1 + u^2)^2 du= -∫ (1 + 2u^2 + u^4) du= -u - 2/3 u^3 - 1/5 u^5 + C,其中 C 是常数。第二部分是 sin^2(x)，它的积分是简单的：∫ sin^2(x) dx = ∫ (1 - cos^2(x)) dx= x - 1/2 sin(2x) + C,其中 C 是常数。综上所述，函数 1/(sin^4(x)) + sin^2(x) 的不定积分为：u - 2/3 u^3 - 1/5 u^5 - 1/2 sin(2x) + x + C,

答：其中 u = cot(x)，C 是常数。