Question

为什么计算方阵的高次幂,利用的是矩阵相似于对角矩阵,而不能相似于其他矩阵

Answer 1

问：为什么计算方阵的高次幂,利用的是矩阵相似于对角矩阵,而不能相似于其他矩阵

答：解答如上图，同学

问：为什么一定要对角矩阵，不能换成其他普通矩阵吗

答：在计算高次方阵时，我们需要通过矩阵相似的方式将原矩阵 $A$ 转化为 $A=PDP^{-1}$ 的对角矩阵形式，然后再对其进行求幂。这样做的好处是，对角矩阵的幂可以直接通过对其对角线上的元素求幂来计算，而不用考虑非对角线上的元素。因此，以对角矩阵的形式进行计算可以更加高效，这也是为什么我们选择对角矩阵作为相似变换的形式。当然，理论上来说，我们也可以将原矩阵 $A$ 相似变换为其他形式的矩阵，比如 Jordan 标准型或者三角矩阵等，并且也可以通过相似变换来计算这些形式下的高次幂。但是相较于对角矩阵的计算方式，这些计算方式要更加复杂，不方便实现。因此，在实际计算高次方阵时，我们通常会选择将原矩阵 $A$ 转化为对角矩阵形式，然后对其进行求幂，这样可以更加高效。