Question

1/（1+x）的幂级数展开式

Answer 1

要求1/（1+x）的幂级数展开式，我们可以使用二项式定理来展开。二项式定理表明：
（1+x）^n=C（n，0）*x^0+C（n，1）*x^1+C（n，2）*x^2+...
其中C（n，k）表示从n个元素中取k个元素的组合数。
将上述定理应用于1/（1+x）中，我们可以将其表达为：
1/（1+x）=（1+x）^（-1）=C（1，0）*x^0+C（1，1）*x^1+C（1，2）*x^2+...
考虑到组合数的计算公式为C（n，k）=n！/（k！*（n-k）！），这里的n为1，我们可以展开得到：
1/（1+x）=1-x+x^2-x^3+x^4-...
这样，我们得到了1/（1+x）的幂级数展开式。
这是一个无限级数，可以无限地进行相加。然而，幂级数的收敛性需要进一步考虑。在这个特定的幂级数展开中，当x的绝对值小于1时，级数是收敛的，即幂级数会收敛到一个有限值。当x的绝对值大于等于1时，级数是发散的，即幂级数不会收敛到一个有限值。
因此，要注意使用展开式时，要确保x的绝对值小于1，以确保幂级数的收敛性，并使用有限项来逼近1/（1+x）的值。