Question

求定积分+_0^1(x^2+sinx+1/(1+x^2)dx

Answer 1

问：求定积分+_0^1(x^2+sinx+1/(1+x^2)dx

答：亲为了能准确的帮您解答，可以把问题描述的详细些吗

答：亲 您好，很高兴为您解答：[-1..1]∫(2+sinx)dx/(1+x²)=[-1..1]∫2dx/(1+x²)+[-1..1]∫sinxdx/(1+x²)=2arctanx|[-1..1]+0 奇函数 sinx/(1+x²) 在对称区间的定积分等于零=2[π/4-(-π/4)]=π

答：(2+sinx) * 1/(1+x^2)=2/(1+x^2)+sinx /(1+x^2)∫(2+sinx) * 1/(1+x^2)dx=∫[2/(1+x^2)+sinx /(1+x^2)]dx=∫m(x)dx+∫n(x)dx令m(x)=2/(1+x^2) 偶函数，对称区间积分是单区间的两倍 原函数M（x)=2arctanxn(x）=sinx /

答：相关资料：定积分的五种计算方法一、基本概念定义1定积分设f（x）在[a，b]上有定义，对于任意分法T，任意取法，E[x-，x]，若极限lim Σ（）Δη =I2（T）+0存在，且I与分法T、取法无关，则称f（x）在[a，b]上可积，且称极限值是f（x）在[a，b]上的定积分，记作J（x）dx = lim Σf（）Ar2（T）১০定积分的几何意义 若（x）20，则]f（x）dx表示由x=a，x=b，y =f（x）和x轴围成的曲边梯形的面积.定义2积分上限函数：若f（x）可积，则称（x）=f（t）dt为积分上限函数.二 基本结论定理1（牛顿莱布尼益公式）如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间[a，b]的一个原函数，则["J（x）dr = F（b）-F（a）定理2（变限积分函数的导数）若J（x）连续，p（x）与y（x）可导，则变限积分函数F（x）= f（t）dr可导，且F'（x）= f（φ（x））φ'（x）-f（（x））ψ'（x）定理3（定积分中值定理）如果函数J（x）在闭区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点，使Jf（x）dx =（b-a）f（S）-定理4（定积分性质和公式）1.对称区间上的定积分 若（x）在[-1，7]是连续函数，则J（x）是奇函数，Jf（x）dx=2j（x）dx，f（x）是偶函数2.周期函数的定积分 若f（x）是以T为周期的连续函数，则[（x）dr-f J（x）dr.

答：2.周期函数的定积分 若f（x）是以T为周期的连续函数，则f（x）dx = f（x）dr.3.三角函数的定积分（n-1）！！π是偶数（1）|sin"xdx =cos"xdx =n！（ท-是奇数（2）sin"xdr =2sin"xdx，m偶数。sin"xdx =2f2 sin"xdx奇数4（3）cos"xdx=4cos"xdx，m偶数Jcos"xdx=2cos"xdr，m数0，奇数n奇数（4）xf（sinx）dr = f（sinx）dr.f（sin x）dx = f（cosx）dr4.三角函数定积分的常用变换（1）形如f（sinx，cosx）dx的积分，常作变换x=--t；这样可以使积分区间（积分的上下限）不变，被积函数正弦和余弦互换，从而被积函数发生变化，（2）形如 f（sinx，cos x）dx或xf（sin x，cosx）dr不定积分，常作变换x=n-t 或或再令x=+t，这样可以将也变为[，最终都转化为[32（3）形如f（sinx，cosx）dx的不定积分，常作变换+."（以2m为周期函数性质）.1-

问：怎么做

答：三计算定积分的基本方法：计算定积分的基本方法是求出原函数，应用牛顿菜布尼兹公式.这和计算不定积分在方法上并没有本质区别，所以如果仅用这个方法计算的定积分，这里不再赘述.1.换元积分定积分的换元积分和不定积分的变量代换本质是相同的，但是对计算两类积分所起到的作用有时是不同的，并且有一定的差别，体现在：（1）不定积分的变量代换求得的结果一定要还原（换回原变量），而定积分是不需要的.正因为这个原因，在计算定积分时，只要通过换元能够得到较简单的定积分，就可以进行换元，不必考虑还原的麻烦.但是这个定积分或通过拆分后得到的定积分可能与原来定积分有一定的关系，如相等、其和或差是可求的定积分，这样的换元仍是有意义的.（3）计算三角函数不定积分的一个常用方法是降次，但是对一些三角函数的定积分来说，可以不用降次，只需利用三角函数的积分公式，在区间[0，]，[0，n]，[0，2m]上的定积分，若将被积函数转化为sin"x或cos"x，就可以得到定积分的结果.

答：例1计算下列定积分：（1）（2）（3）x1-xdr（4）[xsin xdx解（1）令t= arcsin/x，则x =sin't，dx =2 sin tcostdt，于是-arcsin-42sint costdu =[25sint cost144（2）令x=asint，则dx=acostdt，于是dx asint2costdt；asint+ acost sint+ cost令t=--11，可以证明cost2sinusint dt du=dt sint + costsinu + COSu sint +cost所以1sintdt+/cost sint+ cost sint + costπ或者求出原函数因此sint sint +cost（t+1n+cost（3）令x=sint，则dx=costdt，于是x1-x dc = 2dx = 2sin't cos'tdtcos'tdt-2 sin'tdt ==2cos'tdt-2 sin'tdt =aπ，3π=2-2-중2 2 8 2৪（4）令x=n-t，则dx=-dt，于是Jxsin xdx =（-t）sin tdt = nf sin tdt tsin tdt৪！！xsin xdx =sin tdr = fsin tdt =9！！此题也可直接利用积分公式，不必做变量代换，

答：2 分部积分定积分的分部积分与不定积分的分部积分的思想、方法是相同的，使用的范围和对象也是相同的.例2计算下列定积分：（1）JIn（x+1）dx；（2）（arcsinx）dx（3）e sinxdr；x（4）sinx dr解（1）取11（x）=In（x+1），显然v（x）=x，于是[in（x+1）dr = xln（x+1）：-dr =In 2-[x-In（x+ 1）]|：= 21n 2-1.X+1（2）令 arcsinx=t，则x=sint，dx=costdt，于是（arcsinx）dx-f costdr-fdsint=[sint-f + 2tcost-2 sint]（3）分部积分sinxdx =sin xde=e'sinx-e cosxdr=e-e cosx-e sinxdr =e +1-esin xdr*移项，则有（4）スe'sin xdr-（e +1）xd cot cot x+ cot xdo2πาnx42442-In 2

答：3.对称区间的积分对称区间的积分是定积分的常见题型，一旦遇到这类积分，就要考虑、研究被积函数是否是奇函数或偶函数，从而利用对称区间积分的性质，如果被积函数不是奇函数，可能将被积函数表示为几个函数的和，拆分，将和的积分写成积分的和，对某部分积分利用对称区间积分性质例3计算下列对称区间的积分：（1）[（x +/1-x2）dx（2）|解（1）拆分，对第二个积分利用对称区间积分性质，有*V1-ג34+34121（2）拆分，对第一个积分利用对称区间的积分性质，对第二个积分作变量代换，有inx+1-sinx-Tdx =0 + arctan x =-1+x+ג1+x例4 设f（x），g（x）是连续函数，g（x）是偶函数，且f（x）+f（-x）=A（常数）（1）证明：[f（x）g（x）dx=A"g（x）dx；（2）计算sin xarctanedx.Q X解（1）[f（x）g（x）dx =f"f（x）g（x）dr+ff（x）g（x）dr=J"U（x）g（x）+ f（x）g（x）]dx = Af g（x）dr.（2）因为（arctane+arctane""）'=0，令x=0，得到arctane + arctan e=|根据结论（1），得到nxarctane"dx = sinx=ر

答：4.非初等函数的定积分计算非初等函数积分的基本方法：将被积函数在积分区间的范围上表示为分段函数，把定积分表示为在若干区间上积分的和，使被积函数在每个积分区间上都是初等函数，或者说把被积函数在积分区间上表示为分段函数例5计算下列非初等函数的积分（1）[max（x，x）dr；（2）Vsin x-sin'xdr；（3）[[x]1n xdr s（4）x sgn（x-1）dr.解（1）由于[x，xE[-2，0]max（x，r）=x，xE（0，1]（x，xε（1，2]于是[max（x，xdr-fxdr+xax+ xd（2）Vsin x-sin'xdr-J Vsin x cosxdr-JVsin x cosxdr+Vsin x cosxldr-Jsinx cosxdx-sin x cosxdr =（3）根据取整函数定义，有[x]-3f0，xe[0，1）3。（1，xE[1，2]+mದ于是J.[x]ln xdr =[[x]inxdr+J，[x]1n xdr= fIn xdr =（xlnx-x）= 21n 2-1.（4）根据符号函数定义，有（-1，xe（-，0）sgnx =0，x =0（1，xE（0，+0）于是Jx sgn（x-1）dn-Jx sgn（x-1）dx+x sgn（x-1）dn=-[xdx+rax=-+-=2.

答：5.反常积分（广义积分）（1）无穷限反常积分：f（x）dr，f（x）dr，f（x）d:-（2）无界函数反常积分：瑕积分分类a为函数J（x）的瑕点，f"f（x）dr；b为函数J（x）的点，Jf（x）dr；CE（a，b）为函数（x）的瑕点，J"f（x）dx=ff（x）dr+ff（x）dx.广义积分计算和正常积分计算基本没有区别，只是在有牛顿一菜布尼兹公式时，若不能直接代入，就求极限例7计算下列反常积分اJ。dx；（2）In xdr；（3）xedx；（1）"اdx = arcsin-α（2）Inxdr =（x1nx-x）| =-1（3）xe"dx =（-xe"-e）= 13（4）는+dx = arctan x==-+）클）=注（1）题只需将上下限直接代入原函数即可；（2）题原函数在x=0没定义，所以只能，并且lim xlnx=0；（3）题的上限是不能直接代入，只能求原函数在正无穷大的极限；（4）题需要分别求正无穷和负无穷的极限.

答：亲可以把问题以文字信息发给我吗

答：亲 您好，很高兴为您解答：sinX /(1+X^2) 为奇函数,在对称区间积分为0∫2,∏/2>{ [sinX /(1+X^2) ]+(sinX)^2}dX=∫(sinX)^2dX=0.5∫（1-cos 2x）dx=0.5(x-0.5sin2x)=∏/2