已知椭圆C:a²之x²+b²之y²等于1(a>b>0)的离心率为2/1,短半轴长为根号3,求C的标准方程
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# 1、e=c/a=1/2,c=a/2,b^2=a^2-c^2=3a^2/4,b=√3a/2,
设椭圆方程为:x^2/a^2-y^2/(3a^2/4)=1,
圆的方程为:x^2+y^2=3a^2/4,
直线y=x+√6,代入圆方程,x^2+(x+√6)^2-3a^2/4=0,
2x^2+2√6x+6-3a^2/4=0,
当直线和圆相切时,判别式b^2-4ac=0,
a=2,b=3*/4=3,c=1,
故方程为:x^2/4+y^2/3=1。
咨询记录 · 回答于2024-01-14
已知椭圆C:a²之x²+b²之y²等于1(a>b>0)的离心率为2/1,短半轴长为根号3,求C的标准方程
1. e=c/a=1/2, c=a/2
2. b^2=a^2-c^2=3a^2/4, b=√3a/2
3. 设椭圆方程为:x^2/a^2-y^2/(3a^2/4)=1
4. 圆的方程为:x^2+y^2=3a^2/4
5. 直线y=x+√6, 代入圆方程,x^2+(x+√6)^2-3a^2/4=0
6. 2x^2+2√6x+6-3a^2/4=0
7. 当直线和圆相切时,判别式b^2-4ac=0
8. a=2, b=3*/4=3, c=1
9. 故方程为:x^2/4+y^2/3=1.
2. 设A(m,n), B(m,-n), BP: x=ky+4,
代入椭圆方程,得(3k^2+4)y^2+24ky+36=0
y1=-n, y2=y1y2/y1=36/[-n(3k^2+4)],
结合k=(4-m)/n,得y2=36/[-n( (3(m-4)^2+4n^2)/n^2]
又m^2/4 + n^2/3=1,得3m^2+4n^2=12,故y2=3n/(2m-5)
E(x2,y2), x2=ky2+4=(4-m)/n*3n/(2m-5)+4=(5m-8)/(2m-5)
AE: (y-n)/(x-m)=(y2-n)/(x2-m)=n(m-4)/[(m-1)(m-4)]=n/(m-1)
令Y=0, 得x=1,即恒过Q(1,0)
你回答的好像不是这个题啊
因为 $a > b > 0$,所以焦点在x轴上。
$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
得出:$a = 2b$
所以 $c = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \sqrt{3}b$
根据题意,直线 $L: y = x \pm c$
因为椭圆为中心对称图形,所以直线 $L$ 过左焦点还是右焦点,对结果无影响。
所以不妨设直线 $L: y = x + c = x + \sqrt{3}b$
$\frac{x^2}{4b^2} + \frac{(x + \sqrt{3}b)^2}{b^2} = 1$
$x^2 + 4(x^2 + 2\sqrt{3}bx + 3b^2) = 4b^2$
$5x^2 + 8\sqrt{3}bx + 8b^2 = 0$
设 $A(x_1, x_1 + \sqrt{3}b)$, $B(x_2, x_2 + \sqrt{3}b)$
$|AB|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (x_1 + \sqrt{3}b - x_2 - \sqrt{3}b)^2 = 2(x_1 - x_2)^2$
$= 2[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2] = 2*[(-8\sqrt{3}b/5)^2 - 4*(8b^2/5)]$
$= 64b^2/25 = 64$
所以 $b = 5$, $a = 2b = 10$
所以椭圆方程:$\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$
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