Question

已知椭圆C:a²之x²+b²之y²等于1(a>b>0)的离心率为2/1，短半轴长为根号3，求C的标准方程

Answer 1

问：已知椭圆C:a²之x²+b²之y²等于1(a>b>0)的离心率为2/1，短半轴长为根号3，求C的标准方程

答：1. e=c/a=1/2, c=a/2 2. b^2=a^2-c^2=3a^2/4, b=√3a/2 3. 设椭圆方程为：x^2/a^2-y^2/(3a^2/4)=1 4. 圆的方程为：x^2+y^2=3a^2/4 5. 直线y=x+√6, 代入圆方程，x^2+(x+√6)^2-3a^2/4=0 6. 2x^2+2√6x+6-3a^2/4=0 7. 当直线和圆相切时，判别式b^2-4ac=0 8. a=2, b=3*/4=3, c=1 9. 故方程为：x^2/4+y^2/3=1.

答：2. 设A(m,n), B(m,-n), BP: x=ky+4, 代入椭圆方程，得(3k^2+4)y^2+24ky+36=0 y1=-n, y2=y1y2/y1=36/[-n(3k^2+4)], 结合k=(4-m)/n,得y2=36/[-n( (3(m-4)^2+4n^2)/n^2] 又m^2/4 + n^2/3=1，得3m^2+4n^2=12，故y2=3n/(2m-5) E(x2,y2), x2=ky2+4=(4-m)/n*3n/(2m-5)+4=(5m-8)/(2m-5) AE: (y-n)/(x-m)=(y2-n)/(x2-m)=n(m-4)/[(m-1)(m-4)]=n/(m-1) 令Y＝0, 得x=1,即恒过Q(1,0)

问：你回答的好像不是这个题啊

答：因为 $a > b > 0$，所以焦点在x轴上。 $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 得出：$a = 2b$ 所以 $c = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \sqrt{3}b$ 根据题意，直线 $L: y = x \pm c$ 因为椭圆为中心对称图形，所以直线 $L$ 过左焦点还是右焦点，对结果无影响。 所以不妨设直线 $L: y = x + c = x + \sqrt{3}b$ $\frac{x^2}{4b^2} + \frac{(x + \sqrt{3}b)^2}{b^2} = 1$ $x^2 + 4(x^2 + 2\sqrt{3}bx + 3b^2) = 4b^2$ $5x^2 + 8\sqrt{3}bx + 8b^2 = 0$ 设 $A(x_1, x_1 + \sqrt{3}b)$， $B(x_2, x_2 + \sqrt{3}b)$ $|AB|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (x_1 + \sqrt{3}b - x_2 - \sqrt{3}b)^2 = 2(x_1 - x_2)^2$ $= 2[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2] = 2*[(-8\sqrt{3}b/5)^2 - 4*(8b^2/5)]$ $= 64b^2/25 = 64$ 所以 $b = 5$， $a = 2b = 10$ 所以椭圆方程：$\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$