Question

19.求不定积分(1+lnx)/(xlnx(1+xlnx))dx

Answer 1

问：19.求不定积分(1+lnx)/(xlnx(1+xlnx))dx

答：将分母的分母乘到分子中，得到：$\frac{1+\ln x}{x\ln x+ x\ln^2 x}=\frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{1+\frac{\ln x}{x}} \cdot \frac{1}{1+\ln x}$对第三个因式使用分部积分，令 $u=\ln x$，$dv=\frac{1}{1+\ln x}dx$，则 $du=\frac{1}{x}dx$，$v=\int \frac{1}{1+\ln x}dx$。对$v$使用换元 $t=1+\ln x$，则 $dt = \frac{1}{x}dx$，得到：$v=\int \frac{1}{1+\ln x}dx = \int \frac{1}{t}dt = \ln |t| + C = \ln |1+\ln x| + C$回到原式，令 $t=1+\frac{\ln x}{x}$，则 $dt = \frac{1-\ln x}{x^2}dx$，得到：$\int \frac{1+\ln x}{x\ln x(1+x\ln x)}dx = \int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{1+\frac{\ln x}{x}} \cdot \frac{1}{1+\ln x}dx$$= \int \frac{1}{t-1}dt = \ln |t-1| + C = \ln \left|1 + \frac{\ln x}{x} - 1\right| + C$$= \ln \left|\frac{\ln x}{x}\right| + C$因此，原式的不定积分为 $\ln \left|\frac{\ln x}{x}\right| + C$。