Question

设函数f(x)在(-1,0)U(0,1)内有定义，如果x=0处极限存在，则下列结论正确的是()A存在正数h,使f(x)在(－h,h)内有界 B存在正数h,使f(x)在(－h,0)U(0,h)内有界

Answer 1

问：设函数f(x)在(-1,0)U(0,1)内有定义，如果x=0处极限存在，则下列结论正确的是()A存在正数h,使f(x)在(－h,h)内有界 B存在正数h,使f(x)在(－h,0)U(0,h)内有界

答：你好，设函数f(x)在(-1,0)U(0,1)内有定义，如果x=0处极限存在，则下列结论正确的是B哦。

问：这个h为负数可吗

答：你好同学，是正数哦

问：我就想问一下h可不可以是负数，另外这个h代表的是去心邻域有界性的范围吧

答：由题可知，函数 f(x) 在 (-1,0) ∪ (0,1)内有定义，如果 x=0 处极限存在，则可以写出该极限的定义式： \lim_{x\to0}f(x)=L 其中 L 为常数。 选项 B：存在正数 h，使 f(x) 在 (-h,0) ∪ (0,h) 内有界。该结论是成立的。由于 x=0 处极限存在，因此可以推知 f(x) 在 (-1,0) 和 (0,1) 内的极限也存在，且均等于 L。因此，对于任意 \epsilon>0，存在正数 \delta，使得当 0<|x-0|<\delta 时，有 |f(x)-L|<\epsilon。取 \epsilon=1，则存在正数 \delta，使得当 0<|x-0|<\delta 时，有 |f(x)-L|<1，即 |f(x)|<|L|+1。因此，可以取 h=\delta，则当 0<|x-0|

答：h不可以是负数哦，同学~

问：嗯，由于在x=0处极限存在，所以f(x)在x=0的某个邻域内有界。设该邻域为(-δ, δ)，则对于任意x∈(-δ, δ)，有|f(x)|≤M，其中M是某个正数。那么，对于任意x∈(-h,0)∪(0, h)，其中h=min{δ,1}，都有|x|

答：是滴，同学很棒~

问：这我问别的博主的他这个为什么设h大于等于δ啊，这个h不应该就是邻域的范围吗

答：哈，那老师给的答案正确吗？

问：是对的啊

答：嗯，其他老师不敢评论哦~

问：那如果说h为负数的话x+h要想小于1，x必须大于1，不在定义域范围，这是不可行的，这样理解可以吗，另外老师去心邻域必须是对称的吗

答：嗯，可以理解为x

答：而且x+h的取值范围如果不在(-1,1)之间，无法保证在x=0的邻域内函数有界哦。