Question

设点P在曲面∑:Z等于=2x²+4xy+x+y+1,若曲面∑在P处的切平面与平面x+5y–Z+1=0平行，求点P的位置

Answer 1

问：设点P在曲面∑:Z等于=2x²+4xy+x+y+1,若曲面∑在P处的切平面与平面x+5y–Z+1=0平行，求点P的位置

答：亲～您好，根据题目所给条件，曲面∑在点P处的法向量应该与平面x+5y–Z+1=0的法向量平行。而平面x+5y–Z+1=0的法向量为(1,5,-1)。因此，曲面∑在点P处的法向量也应该为(1,5,-1)的倍数。又因为点P在曲面∑上，所以点P的坐标(x,y,z)必须满足曲面∑的方程：Z=2x²+4xy+x+y+1。同时，点P在曲面∑上的切平面应该与曲面∑在点P处的法向量垂直。根据向量的内积公式，两个向量垂直的充要条件是它们的内积为0。因此，曲面∑在点P处的法向量与点P所在的切平面垂直，可以得到以下方程：(1,5,-1)·(2x+4y+1,1,1) = 0化简得到：2x + 4y - 4 = 0结合曲面∑的方程，可以得到：2x² + 4xy + x + y + 1 = Z = 2x² + 4xy + x + y + 1因此，可以得到：2x + 4y - 4 = 0解得：x = 2 - 2y代入曲面∑的方程，可以得到：Z = 2(2-2y)² + 4(2-2y)y + 2 - 2y + y + 1 = 10 - 12y + 6y²因此，点P的坐标为(x,y,z) = (2-2y,y,10-12y+6y²)，其中y为任意实数。