Question

18.设f(x)=上限是x^2，下限是0（t-1)e^(-x)^2dt，求f(x）的极值,并判断是极大值还是极小值.

Answer 1

问：18.设f(x)=上限是x^2，下限是0（t-1)e^(-x)^2dt，求f(x）的极值,并判断是极大值还是极小值.

答：首先，我们对 $f(x)$ 求导，得到：$$f'(x) = 2xe^{-x^2}(x^2-1)$$然后，我们令 $f'(x) = 0$，解得 $x=1$ 或 $x=-1$。接下来，我们需要进一步判断这两个点是否为 $f(x)$ 的极值点。我们可以使用二阶导数的符号来判断。当 $f''(x)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 处取得极小值。当 $f''(x)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 处取得极大值。当 $f''(x)=0$ 时，则需要进一步判断。但是在这个问题中，我们可以注意到 $f''(x)$ 是一个关于 $x$ 的二次方程，其判别式为：$$\Delta = (-10)^2-4\times 3\times 3 < 0$$即判别式为负数，因此 $f''(x)$ 在实数范围内永远不会等于零。因此，我们只需要判断 $f''(x)$ 的符号即可。在 $x=1$ 处，我们有 $f''(1) = 2e^{-1}(3(1)^4-10(1)^2+3)=-4e^{-1}<0$，因此 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值。

答：在 $x=-1$ 处，我们有 $f''(-1) = 2e^{-1}(3(-1)^4-10(-1)^2+3)=-4e^{-1}<0$，因此 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值。因此，我们得出结论：$f(x)$ 在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处取得极大值。

问：x等于1不是极小？

答：实际上，我们得出的 $f(x)$ 的一阶导数为 $f'(x) = 2xe^{-x^2}(x^2-1)$，令 $f'(x) = 0$，我们得到 $x=1$ 或 $x=-1$，这两个点是一阶导数为 $0$ 的点，也就是 $f(x)$ 的可能的极值点。接下来，我们需要判断这两个点是否为 $f(x)$ 的极值点。我们可以利用二阶导数的符号来判断。当 $f''(x)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 处取得极小值。当 $f''(x)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 处取得极大值。对 $f(x)$ 求二阶导数，我们有：$$f''(x) = 2e^{-x^2}(4x^4 - 12x^2 + 3)$$当 $x=1$ 时，$f''(1) = 2e^{-1}(4 - 12 + 3) = -4e^{-1} < 0$，因此 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值。当 $x=-1$ 时，$f''(-1) = 2e^{-1}(4 - 12 + 3) = -4e^{-1} < 0$，因此 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值。因此，$f(x)$ 在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处取

问：不是这样？

答：得极大值，而不是极小值。

问：我这样写有错吗

答：图片打不开，请用文字描述相关问题

问：x^2带进去上面不是x^4吗

答：在计算 $f(x)$ 的一阶导数时，我们应该使用 $t=x^4$ 进行代换，而不是 $t=x^2$。因此，正确的一阶导数为：$$f'(x) = 4x^3 e^{-x^4} (x^4-1)$$令 $f'(x) = 0$，我们得到 $x=0$ 或 $x=1/\sqrt[4]{2}$ 或 $x=-1/\sqrt[4]{2}$。接下来，我们需要判断这些点是否为 $f(x)$ 的极值点。我们可以利用二阶导数的符号来判断。当 $f''(x)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 处取得极小值。当 $f''(x)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 处取得极大值。对 $f(x)$ 求二阶导数，我们有：$$f''(x) = 4e^{-x^4} (12x^6-24x^2-1)$$当 $x=0$ 时，$f''(0) = -4e^0 < 0$，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值。当 $x=1/\sqrt[4]{2}$ 时，$f''(1/\sqrt[4]{2}) = 4e^{-1/2} (12/2\sqrt{2}-24/2-1) = -16\sqrt{2}e^{-1/2} < 0$

答：当 $x=1/\sqrt[4]{2}$ 时，$f''(1/\sqrt[4]{2}) = 4e^{-1/2} (12/2\sqrt{2}-24/2-1) = -16\sqrt{2}e^{-1/2} < 0$，因此 $f(x)$ 在 $x=1/\sqrt[4]{2}$ 处取得极大值。当 $x=-1/\sqrt[4]{2}$ 时，$f''(-1/\sqrt[4]{2}) = 4e^{-1/2} (12/2\sqrt{2}-24/2-1) = -16\sqrt{2}e^{-1/2} < 0$，因此 $f(x)$ 在 $x=-1/\sqrt[4]{2}$ 处取得极大值。因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=\pm 1/\sqrt[4]{2}$ 处取得极大值。