完备距离空间的闭子空间也是完备的
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你好，完备距离空间的闭子空间也是完备的。如下：
设 (X, d) 是完备距离空间，A " X 是闭集，d_A 是 A 上的距离函数，则 (A, d_A) 也是距离空间。
设 {x_n} 是 A 中的 Cauchy 序列，则 {x_n} 也是 X 中的序列，因为 A " X。由于 X 是完备的，所以 {x_n} 在 X 中收敛到某个 x ∈ X。
由于 A 是闭集，所以 x ∈ A。因此，{x_n} 也在 A 中收敛到 x。
因此，(A, d_A) 是完备的。
因此，完备距离空间的闭子空间也是完备的。
咨询记录 · 回答于2023-12-24
完备距离空间的闭子空间也是完备的
**完备距离空间的闭子空间也是完备的**
设 (X, d) 是完备的距离空间，A " X 是闭集。d_A 是 A 上的距离函数。那么，(A, d_A) 也是一个距离空间。
设 {x_n} 是 A 中的 Cauchy 序列。由于 A " X，因此 {x_n} 也是 X 中的序列。由于 X 是完备的，{x_n} 在 X 中收敛到某个 x ∈ X。由于 A 是闭集，因此 x ∈ A。这意味着 {x_n} 也在 A 中收敛到 x。
因此，(A, d_A) 是完备的。
综上，完备距离空间的闭子空间也是完备的。
# 根据数学分析中的实数理论
- 实数域具有完备性
# 距离空间中的完备性
- 了解什么是完备性
- 如何在距离空间中定义完备性
- 进一步讨论
# 完备距离空间的闭子空间
- 任何闭子空间也是完备的
- 根据闭集的定义，收敛点列的极限依然在子空间中
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