Question

已知函数f(x)=lnx-a(x-x分之一)讨论f(x)极值个数

Answer 1

问：已知函数f(x)=lnx-a(x-x分之一)讨论f(x)极值个数

答：首先，我们可以对函数 f(x)f(x) 求导数，得到：f'(x)=\frac{1}{x}-af ′ (x)= x1​ −a由于 x>0x>0，所以当 a>\frac{1}{x}a> x1​ 时，f'(x)<0f ′ (x)<0；当 a<\frac{1}{x}a x1​ 时，f'(x)>0f ′ (x)>0。所以，当 a>\frac{1}{x}a> x1​ 时，f(x)f(x) 在 xx 处取得极大值；当 a<\frac{1}{x}a x1​ 时，f(x)f(x) 在 xx 处取得极小值。当 a=\frac{1}{x}a= x1​ 时，f'(x)=0f ′ (x)=0，此时 f(x)f(x) 不是极值点。接下来，我们需要确定 aa 的取值范围，以及对应的 xx 值和极值个数。依据题目中给出的函数形式，可以看出 aa 是一个常数，而 xx 是自变量。由于 x>0x>0，所以我们可以考虑 xx 取不同的值，来确定 aa 的取值范围和对应的极值情况。假设 x=1x=1，则有：f(1)=\ln 1-a(1-1)=0f(1)=ln1−a(1−1)=0由此可知，当 a=0a=0 时，f(x)=\ln xf(x)=lnx，此时 f(x)f(x) 在 x>0x>0 区间内没有极值点。当 a>0a>0 时，由于 \frac{1}{x}1 区间内单调递减。当 a<0aa x1​ >a，所以 f(x)f(x) 在 x=1x=1 处取得极小值，且 f(x)f(x) 在 01 区间内单调递增。综上所述，当 a>0a>0 时，f(x)f(x) 在 x=1x=1 处取得极大值，当 a<0a<0 时，f(x)f(x) 在 x=1x=1 处取得极小值。所以，f(x)f(x) 的极值个数为 11。需要注意的是，在实际应用中，还需要考虑到函数的定义域和可导性等问题，以保证计算结果的准确性和有效性。

问：与曲线y=x的平方+1和圆x的平方+y的平方=1都相切的直线l的方程是

答：曲线 y=x^2+1y=x 2 +1 和圆 x^2+y^2=1x 2 +y 2 =1 在它们的交点处相切，所以我们可以先求出它们的交点坐标。将曲线方程中的 yy 替换为圆的方程中的 yy，得到：x^2+(x^2+1)^2=1x 2 +(x 2 +1) 2 =1化简后可得：x^4+2x^2-1=0x 4 +2x 2 −1=0解出该方程可得 x=\pm\frac{\sqrt{5}-1}{2}x=± 25​ −1​ 。将 xx 的值带入曲线方程和圆的方程中，即可求出相应的 yy 值。经过计算可知，两个方程在点 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)( 25​ −1​ , 23− 5​ ​ ) 和 \left(-\frac{\sqrt{5}+1}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)(− 25​ +1​ , 23− 5​ ​ ) 处与 xx 轴相切。接下来，我们要求通过这两个点且与曲线和圆都相切的直线方程。由于曲线和圆在它们的交点处相切，所以在这两个点处，直线的斜率分别等于曲线和圆的导数。所以，我们可以先求出曲线和圆在这两个点处的导数，然后利用点斜式公式求出直线方程。曲线 y=x^2+1y=x 2 +1 在点 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)( 25​ −1​ , 23− 5​ ​ ) 处的导数为：\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}=2x\bigg|_{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}=\sqrt{5}-1dxdy​ ​ ( 25​ −1​ , 23− 5​ ​ )​ =2x ​ ( 25​ −1​ , 23− 5​

问：乡村振兴教育，将5名教师安排在3所学校，若每名教师仅去一所学校每所学校至少安排一名教师有多少情况

答：将5名教师安排在3所学校，若每名教师仅去一所学校，则可以分两种情况讨论：有一所学校安排2名教师，其余两所学校各安排1名教师。这种情况下，选出安排2名教师的学校有3种方法，选出该学校安排2名教师的具体方案有 C_5^2C 52​ 种方法，剩下3名教师分别安排在两个学校中，具体方案有 2^32 3 种方法。所以，这种情况下总共有 3 \times C_5^2 \times 2^3 = 2403×C 52​ ×2 3 =240 种情况。每所学校各安排1名教师，这种情况下，从5名教师中选出任意3名教师到3所学校，每个教师有3种选择的一般性，所以总共有 3^5=2433 5 =243 种情况。综上所述，如果每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排一名教师的情况有 240 + 243 = 483240+243=483 种。

问：三角形ABCab长2根号5，bc长根号下34，ac长根号13求tana

答：依据三角形中的正弦定理，有：sinA / a = sinB / b = sinC / c其中，A、B、C分别表示三角形ABC的内角，a、b、c分别表示对应的边长。因为已知AB = 2√5，BC = √34，AC = √13，所以可以列出以下等式：sinA / 2√5 = sinB / √34 = sinC / √13由于求的是tanA，所以需要用到三角函数的基本关系式：tanA = sinA / cosA。所以我们需要求得cosA才能计算出tanA。又因为在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则有：sinA = AC / AB, cosA = BC / AB代入上面的等式，得：sinA / 2√5 = (sinB / √34) * (√13 / √13) = (sinC / √13) * (√34 / √34)即：sinA / 2√5 = sinB√13 / 2√34 = sinC√34 / 2√13两边平方并化简，得：sin^2A = 65 / 221cos^2A = 156 / 221所以，tanA = sinA / cosA = √(65 / 156) ≈ 0.767所以，tana约等于0.767。